1. **Problem statement:** Berechnen Sie den Oberflächeninhalt der Pyramide ABCDS mit Grundfläche ABCD und Spitze S. Bestimmen Sie die Koordinatengleichung der Ebene E, in der die Seitenfläche CDS liegt. Zeigen Sie, dass der Punkt S in allen Ebenen der Ebenenschar $E_k$ liegt. Beweisen Sie, dass der Schnittwinkel der Geraden OS mit der Ebene $E_k$ unabhängig von $k$ ist. 2. **Gegebene Punkte:** $A(-3, -3, 0), B(3, -3, 0), C(3, 3, 0), D(-3, 3, 0), S(0, 0, 4)$ 3. **Oberfläche berechnen:** - Grundfläche ABCD ist ein Quadrat mit Seitenlänge $6$ (Differenz der x- oder y-Koordinaten: $3 - (-3) = 6$). - Flächeninhalt Grundfläche: $A_{Grund} = 6 \times 6 = 36$ 4. **Seitenflächen:** - Seitenflächen sind Dreiecke: $ABS, BCS, CDS, DAS$ - Flächeninhalt eines Dreiecks: $A = \frac{1}{2} \times |\vec{u} \times \vec{v}|$ 5. **Berechnung der Seitenflächen:** - Beispiel Seitenfläche CDS: $\vec{CD} = D - C = (-3, 3, 0) - (3, 3, 0) = (-6, 0, 0)$ $\vec{CS} = S - C = (0, 0, 4) - (3, 3, 0) = (-3, -3, 4)$ Kreuzprodukt: $$\vec{CD} \times \vec{CS} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -6 & 0 & 0 \\ -3 & -3 & 4 \end{vmatrix} = (0 \cdot 4 - 0 \cdot (-3))\mathbf{i} - (-6 \cdot 4 - 0 \cdot (-3))\mathbf{j} + (-6 \cdot (-3) - 0 \cdot (-3))\mathbf{k} = (0)\mathbf{i} - (-24)\mathbf{j} + (18)\mathbf{k} = (0, 24, 18)$$ Betrag: $$|\vec{CD} \times \vec{CS}| = \sqrt{0^2 + 24^2 + 18^2} = \sqrt{0 + 576 + 324} = \sqrt{900} = 30$$ Fläche CDS: $$A_{CDS} = \frac{1}{2} \times 30 = 15$$ - Analog berechnen wir die anderen Seitenflächen: - $ABS$ mit $\vec{AB} = (6, 0, 0)$, $\vec{AS} = (3, 3, 4)$ - $BSC$ mit $\vec{BC} = (0, 6, 0)$, $\vec{BS} = (-3, 3, 4)$ - $DAS$ mit $\vec{DA} = (0, -6, 0)$, $\vec{DS} = (3, -3, 4)$ Berechnung: - $\vec{AB} \times \vec{AS} = (0, -24, 18)$, Betrag $30$, Fläche $15$ - $\vec{BC} \times \vec{BS} = (24, 0, 18)$, Betrag $30$, Fläche $15$ - $\vec{DA} \times \vec{DS} = (0, 24, 18)$, Betrag $30$, Fläche $15$ 6. **Gesamtoberfläche:** $$A_{gesamt} = A_{Grund} + 4 \times 15 = 36 + 60 = 96$$ 7. **Ebene E der Seitenfläche CDS:** - Punkte: $C(3,3,0), D(-3,3,0), S(0,0,4)$ - Normalenvektor $\vec{n} = \vec{CD} \times \vec{CS} = (0, 24, 18)$ - Vereinfachen: $\vec{n} = (0, 4, 3)$ - Ebenengleichung: $$0 \cdot x + 4y + 3z = d$$ - Einsetzen von $C(3,3,0)$: $$4 \times 3 + 3 \times 0 = 12$$ - Also: $$4y + 3z = 12$$ 8. **Punkt S in Ebenenschar $E_k$: $$4k x + 4\sqrt{1-k^2} y + 3z = 12$$** - Einsetzen von $S(0,0,4)$: $$4k \times 0 + 4\sqrt{1-k^2} \times 0 + 3 \times 4 = 12$$ $$12 = 12$$ - Punkt $S$ liegt in allen Ebenen der Schar. 9. **Winkel zwischen Gerade OS und Ebene $E_k$:** - Gerade OS: $O(0,0,0)$ nach $S(0,0,4)$, Richtungsvektor $\vec{OS} = (0,0,4)$ - Normalenvektor der Ebene $E_k$: $$\vec{n}_k = (4k, 4\sqrt{1-k^2}, 3)$$ - Winkel $\theta$ zwischen Gerade und Ebene ist der Komplementärwinkel zum Winkel zwischen $\vec{OS}$ und $\vec{n}_k$: $$\cos(\phi) = \frac{|\vec{OS} \cdot \vec{n}_k|}{|\vec{OS}| |\vec{n}_k|}$$ $$\vec{OS} \cdot \vec{n}_k = 0 \times 4k + 0 \times 4\sqrt{1-k^2} + 4 \times 3 = 12$$ $$|\vec{OS}| = 4$$ $$|\vec{n}_k| = \sqrt{(4k)^2 + (4\sqrt{1-k^2})^2 + 3^2} = \sqrt{16k^2 + 16(1-k^2) + 9} = \sqrt{16 + 9} = 5$$ $$\cos(\phi) = \frac{12}{4 \times 5} = \frac{12}{20} = 0.6$$ - Winkel zwischen Gerade und Ebene: $$\theta = 90^\circ - \phi = 90^\circ - \arccos(0.6)$$ - Da $\cos(\phi)$ unabhängig von $k$ ist, ist auch $\theta$ unabhängig von $k$. **Endergebnisse:** - Oberfläche: $96$ - Ebene CDS: $4y + 3z = 12$ - Punkt $S$ liegt in allen Ebenen $E_k$ - Schnittwinkel der Geraden OS mit $E_k$ ist konstant, unabhängig von $k$.