1. Problem: Stellen Sie eine Normalengleichung der Ebene E auf, die durch die Punkte A(0|2|0), B(2|1|2) und C(1|0|2) geht. 2. Formel: Die Normalengleichung einer Ebene lautet $$n \cdot (x - a) = 0$$, wobei $$n$$ der Normalenvektor und $$a$$ ein Punkt auf der Ebene ist. 3. Schritt: Berechnen Sie zwei Richtungsvektoren der Ebene: $$\vec{AB} = B - A = (2,1,2) - (0,2,0) = (2,-1,2)$$ $$\vec{AC} = C - A = (1,0,2) - (0,2,0) = (1,-2,2)$$ 4. Schritt: Berechnen Sie den Normalenvektor $$n$$ als Kreuzprodukt von $$\vec{AB}$$ und $$\vec{AC}$$: $$n = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 2 \\ 1 & -2 & 2 \end{vmatrix} = ( (-1)(2) - 2(-2), -(2(2) - 2(1)), 2(-2) - (-1)(1) ) = ( -2 + 4, -(4 - 2), -4 + 1 ) = (2, -2, -3)$$ 5. Schritt: Normalengleichung mit Punkt A(0,2,0): $$2(x - 0) - 2(y - 2) - 3(z - 0) = 0$$ $$2x - 2y + 4 - 3z = 0$$ $$2x - 2y - 3z + 4 = 0$$ --- 6. Problem b): Ebene E mit Koordinatengleichung $$2x + y - 3z = 5$$ ist bereits in Normalform. --- 7. Problem c): Die x-y-Ebene hat Normalenvektor $$n = (0,0,1)$$ und geht durch den Ursprung. Normalengleichung: $$0(x - 0) + 0(y - 0) + 1(z - 0) = 0$$ $$z = 0$$ --- 8. Problem d): Die x-z-Ebene hat Normalenvektor $$n = (0,1,0)$$ und geht durch den Ursprung. Normalengleichung: $$0(x - 0) + 1(y - 0) + 0(z - 0) = 0$$ $$y = 0$$ --- 9. Problem e): Ebene E enthält die z-Achse (Punkte (0,0,z)), den Punkt P(1,1,0) und steht senkrecht auf die x-y-Ebene. Die x-y-Ebene hat Normalenvektor $$n_{xy} = (0,0,1)$$. Da E senkrecht auf der x-y-Ebene steht, ist der Normalenvektor von E parallel zur x-y-Ebene, also $$n_E = (a,b,0)$$. Da E die z-Achse enthält, muss jeder Punkt (0,0,z) auf E liegen: $$n_E \cdot (0,0,z) - d = 0 \Rightarrow 0 - d = 0 \Rightarrow d = 0$$ Da P(1,1,0) auf E liegt: $$n_E \cdot (1,1,0) = 0 \Rightarrow a + b = 0 \Rightarrow b = -a$$ Wählen wir $$a=1$$, dann $$n_E = (1,-1,0)$$. Normalengleichung: $$1(x - 0) -1(y - 0) + 0(z - 0) = 0$$ $$x - y = 0$$ --- Finale Antworten: a) $$2x - 2y - 3z + 4 = 0$$ b) $$2x + y - 3z = 5$$ c) $$z = 0$$ d) $$y = 0$$ e) $$x - y = 0$$