1. **بيان المسألة:** حدد العدد الحقيقي $m$ لكي تكون النقاط $A(1, m^2)$ و $B(1-5m, 1)$ و $C(5, 1)$ متزنة (أي تقع على نفس المستقيم). 2. **قاعدة التحقق من التزاحم:** النقاط $A$, $B$, و $C$ متزنة إذا كان متجه $\overrightarrow{AB}$ متوازيًا مع متجه $\overrightarrow{AC}$، أي: $$\overrightarrow{AB} = \lambda \overrightarrow{AC}$$ لعدد حقيقي $\lambda$. 3. **حساب المتجهات:** $$\overrightarrow{AB} = ( (1-5m) - 1, 1 - m^2 ) = (-5m, 1 - m^2)$$ $$\overrightarrow{AC} = (5 - 1, 1 - m^2) = (4, 1 - m^2)$$ 4. **شرط التوازي:** لكي يكون $\overrightarrow{AB}$ و $\overrightarrow{AC}$ متوازيين، يجب أن تكون مكونات المتجهات متناسبة: $$\frac{-5m}{4} = \frac{1 - m^2}{1 - m^2}$$ 5. **تبسيط الشرط:** لاحظ أن المقام في الطرف الأيمن هو $1 - m^2$، فإذا كان $1 - m^2 \neq 0$ فإن: $$\frac{1 - m^2}{1 - m^2} = 1$$ إذاً: $$\frac{-5m}{4} = 1 \implies -5m = 4 \implies m = -\frac{4}{5}$$ 6. **التحقق من الحالة الخاصة:** إذا كان $1 - m^2 = 0$، أي $m^2 = 1$، أي $m = \pm 1$: - عند $m=1$: $$\overrightarrow{AB} = (-5, 0), \quad \overrightarrow{AC} = (4, 0)$$ المتجهان على نفس المحور الأفقي، إذن متوازيان. - عند $m=-1$: $$\overrightarrow{AB} = (5, 0), \quad \overrightarrow{AC} = (4, 0)$$ أيضًا متوازيان. 7. **النتيجة النهائية:** القيم الحقيقية لـ $m$ التي تجعل النقاط متزنة هي: $$m = -\frac{4}{5}, \quad m = 1, \quad m = -1$$