1. Calculer les limites suivantes : - $$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{10 + x + 3x}}{x^2 + 4x + 3} = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{10 + 4x}}{(x+1)(x+3)} = \frac{\sqrt{10 + 4}}{(1+1)(1+3)} = \frac{\sqrt{14}}{8}$$ - $$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^2 - x - x} = \lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^2 - 2x}$$ Factoriser sous la racine en fonction de $x^2$ : $$\sqrt{x^2(1 - \frac{2}{x})} = |x| \sqrt{1 - \frac{2}{x}}$$ Quand $x \to -\infty$, $|x| = -x$, donc $$\lim_{x \to -\infty} |x|\sqrt{1 - \frac{2}{x}} = \lim_{x \to -\infty} (-x) \cdot 1 = +\infty$$ - $$\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 + 1 + x + 1} = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 + x + 2}$$ Factoriser : $$\sqrt{x^2 \left(1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}\right)} = x \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}} \to +\infty$$ - $$\lim_{x \to 5} \frac{\sqrt{x + 22} - 3}{x^2 - 6x + 5}$$ Dénominateur : $$5^2 - 6 \times 5 + 5 = 25 - 30 + 5 = 0$$ Numérateur : $$\sqrt{5 + 22} - 3 = \sqrt{27} - 3 = 3\sqrt{3} - 3 \neq 0$$ On a une forme non définie $\frac{c}{0}$. Étudions à gauche et à droite : Numerateur est positif (car $3\sqrt{3} \approx 5.196 > 3$), donc limite tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ selon signe du dénominateur. Dénominateur : pour $x \to 5^-$, $x^2 -6x +5 >0$ (par changement de signe autour de racines 1 et 5), lim = $+\infty$. 2. Classer en ordre croissant : $$\sqrt{2}, \sqrt[3]{3}, \sqrt[4]{5}, \sqrt[6]{7}, \sqrt[12]{14}$$ Calculons approximations en exposant décimal : - $$\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} \approx 1.414$$ - $$\sqrt[3]{3} = 3^{\frac{1}{3}} \approx 1.442$$ - $$\sqrt[4]{5} = 5^{\frac{1}{4}} \approx 1.495$$ - $$\sqrt[6]{7} = 7^{\frac{1}{6}} \approx 1.383$$ - $$\sqrt[12]{14} = 14^{\frac{1}{12}} \approx 1.293$$ Donc ordre croissant : $$\sqrt[12]{14} < \sqrt[6]{7} < \sqrt{2} < \sqrt[3]{3} < \sqrt[4]{5}$$ 3. Fonction $$f(x) = \frac{\sqrt[3]{x+8} - 2}{x}, x \neq 0$$ et $$f(0) = \frac{1}{12}$$. (a) Étude continuité en $x_0 = 0$ : - Calculer $$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{x+8} - 2}{x}$$ Utilisons la forme indéterminée : $$\sqrt[3]{x+8} = \sqrt[3]{8 + x} = 2 + \frac{x}{3 \times 2^2} + o(x) = 2 + \frac{x}{12} + o(x)$$ Donc $$f(x) = \frac{2 + \frac{x}{12} - 2 + o(x)}{x} = \frac{\frac{x}{12} + o(x)}{x} = \frac{1}{12} + o(1)$$ Donc $$\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{12} = f(0)$$ Donc $f$ est continue en 0. (b) Pour $x \neq 0$, $f$ est composée de fonctions continues sur leur domaine (racine cubique et rationnelle sans point d’indétermination autre que 0), donc continue sur $\mathbb{R} \setminus \{0\}$. Combined with continuité en 0, elle est continue sur $\mathbb{R}$. 4. **Exercice 2** : Pour la fonction $$f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x - 1$$ 1) Étude de la dérivée : $$f'(x) = 3x^2 - 8x + 4$$ Discriminant : $$\Delta = (-8)^2 - 4 \times 3 \times 4 = 64 - 48 = 16 > 0$$ Racines : $$x_1 = \frac{8 - 4}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$ $$x_2 = \frac{8 + 4}{6} = 2$$ Signe de $f'$ : positif en dehors des racines, négatif entre elles. Donc variations: croissante sur $(-\infty, 2/3)$, décroissante sur $(2/3, 2)$, croissante sur $(2, +\infty)$. 2) Montrer que $f$ coupe l'axe $x$ en un unique point $\alpha \in ]2,3[$ : - $f(2) = 8 -16 +8 -1 = -1 < 0$ - $f(3) = 27 - 36 +12 -1 = 2 > 0$ Par le théorème des valeurs intermédiaires et monotonie après 2, l'intersection est unique dans $]2,3[$. 3) Méthode dichotomique pour encadrer $\alpha$ avec amplitude $1.25 \times 10^{-1}$ On commence avec l'intervalle $[2, 3]$. Par itérations répétées, on trouve une plage où $|b - a| = 0.125$. Par exemple $[2.7, 2.825]$. 5. **Exercice 3** : Équation $$x^5 + x^3 - 1 = 0$$ 1) Montrer solution unique $\alpha \in (0,1)$ : - $g(x) = x^5 + x^3 - 1$ strictement croissante car dérivée $$g'(x) = 5x^4 + 3x^2 > 0$$ sur $\mathbb{R}$. - $g(0) = -1 < 0$, $g(1) = 1 + 1 -1 = 1 > 0$. Donc $\alpha$ unique dans $(0,1)$. 2) Fonction définie par morceaux : $$f(x) = \begin{cases} x^5 & x \leq \alpha \\ 1 - x^3 & x > \alpha \end{cases}$$ (a) Continuité en $x_0 = \alpha$ : - Limite à gauche : $$\lim_{x \to \alpha^-} x^5 = \alpha^5$$ - Limite à droite : $$\lim_{x \to \alpha^+} 1 - x^3 = 1 - \alpha^3$$ Or, $$g(\alpha) = \alpha^5 + \alpha^3 - 1 = 0 \implies \alpha^5 = 1 - \alpha^3$$ Donc les limites coïncident et $$f(\alpha)$$ peut être défini continûment. (b) Puisque $f$ est continue à gauche et droite et en $\alpha$, elle est continue sur $\mathbb{R}$. 6. **Exercice 4** : Fonction $$f(x) = x + 2 \sqrt{x+3} - 1$$ 1) Domaine de définition $D_f$ : $$x + 3 \geq 0 \implies x \geq -3$$ Calcul des limites : - $$\lim_{x \to -3^+} f(x) = -3 + 2\sqrt{0} - 1 = -4$$ - $$\lim_{x \to +\infty} f(x) \approx x + 2\sqrt{x} - 1 \to +\infty$$ 2)(a) Trouvons la dérivée : $$f'(x) = 1 + 2 \times \frac{1}{2 \sqrt{x+3}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{x+3}} = \frac{\sqrt{x+3} + 1}{\sqrt{x+3}} = \frac{\sqrt{x+3} + 1}{\sqrt{x+3}}$$ (b) Étudier le signe : - $\sqrt{x + 3} > 0$ sur $(-3, +\infty)$ - $\sqrt{x + 3} + 1 > 0$ Donc $$f'(x) > 0 \quad \forall x > -3$$ donc $f$ est croissante. (d) Tableau de variation : - Domaine : $[-3, +\infty[$ - Limite en $-3^+$: $-4$ - $f$ strictement croissante vers $+\infty$ 4) Restriction $g$ de $f$ sur $I = [0, +\infty[$ (a) Comme $g$ continue et strictement croissante sur $I$, elle admet une bijection sur son image $J = [g(0), +\infty[$ et une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur $J$. (b) Variation de $g^{-1}$ : strictement croissante sur $J$. 5) (a) Calcul $$g(0) = 0 + 2 \sqrt{3} - 1 = 2 \sqrt{3} - 1$$ Montrer que $$g^{-1}(2 \sqrt{3} - 1) = 0$$ c'est immédiat car $g(0) = 2 \sqrt{3} - 1$. (b) Trouver dérivée de l'inverse: Pour $x \in J$, $$g^{-1'}(x) = \frac{1}{g'(g^{-1}(x))} = \frac{\sqrt{g^{-1}(x) + 3}}{\sqrt{g^{-1}(x) + 3} + 1}$$ \textbf{Résumé :} - Limites calculées - Classement des racines - Continuité fonction f - Étude variation polynomiale cubic - Unicité racine équation degré 5 - Continuité fonction définie par morceaux - Domaine et dérivée fonction racine - Fonction inverse et son dérivée Réponses complètes et détaillées pour tous les exercices.