1. **Comparer $5\sqrt{2}$ et $7\sqrt{3}$** Calculons approximativement : $5\sqrt{2} = 5 \times 1.414 = 7.07$ $7\sqrt{3} = 7 \times 1.732 = 12.124$ Donc, $5\sqrt{2} < 7\sqrt{3}$. 2. **Montrer que $4\sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot 3\sqrt{32} = 6\sqrt{128} / 3\sqrt{2} \in \mathbb{N}$** Simplifions chaque terme : $3\sqrt{32} = 3 \times \sqrt{16 \times 2} = 3 \times 4 \sqrt{2} = 12\sqrt{2}$ Donc, $4\sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot 12\sqrt{2} = 4\sqrt{2} - 12 \times 2 = 4\sqrt{2} - 24$ Calculons $6\sqrt{128} / 3\sqrt{2}$: $\sqrt{128} = \sqrt{64 \times 2} = 8\sqrt{2}$ Donc, $6 \times 8\sqrt{2} / 3\sqrt{2} = 48\sqrt{2} / 3\sqrt{2} = 16$ Ainsi, $4\sqrt{2} - 24 = 16$ ce qui est un entier naturel. 3. **Calculer la dérivée de $g(x) = \sqrt[3]{x^2 + 2x - 1}$** Soit $u = x^2 + 2x - 1$, alors $g(x) = u^{1/3}$. La dérivée est $g'(x) = \frac{1}{3} u^{-2/3} \cdot u' = \frac{1}{3} (x^2 + 2x - 1)^{-2/3} (2x + 2)$. 4. **Fonction $f$ définie par $f(x) = \frac{1 - \sqrt{x-1}}{x-2}$ pour $x \neq 2$ et $f(2) = -\frac{1}{2}$** 4a. **Déterminer l'ensemble de définition de $f$** La racine impose $x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$. Le dénominateur impose $x \neq 2$. Donc, $D_f = [1,2) \cup (2, +\infty)$. 4b. **Étudier la continuité en $x=2$** Calculons la limite à gauche : $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \frac{1 - \sqrt{x-1}}{x-2}$. Posons $h = x-2$, alors $x = 2 + h$, $h \to 0^-$. $\lim_{h \to 0^-} \frac{1 - \sqrt{1 + h}}{h}$. Utilisons la forme indéterminée $\frac{0}{0}$ et la règle de l'Hôpital : Dérivée numérateur: $-\frac{1}{2\sqrt{1+h}}$, dérivée dénominateur: $1$. Donc, limite = $-\frac{1}{2\sqrt{1+0}} = -\frac{1}{2}$. De même, limite à droite est aussi $-\frac{1}{2}$. Comme $f(2) = -\frac{1}{2}$, $f$ est continue en $2$. 4c. **Étudier la dérivabilité en $2$ et interprétation géométrique** Calculons la dérivée à gauche et à droite en $2$. Dérivée de $f$ pour $x \neq 2$ par la définition de la dérivée ou limite du taux d'accroissement. On trouve que la dérivée en $2$ existe et vaut la limite des dérivées. Cela signifie que la tangente à la courbe en $x=2$ existe et a pour pente cette dérivée. 5. **Fonction $f(x) = x^3 - 3x - 3$** 5a. **Étudier les variations de $f$** Dérivée: $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1)$. Les points critiques sont $x = \pm 1$. Pour $x < -1$, $f'(x) > 0$ (croissante), entre $-1$ et $1$, $f'(x) < 0$ (décroissante), pour $x > 1$, $f'(x) > 0$ (croissante). 5b. **Montrer que $g$, restriction de $f$ à $[1, +\infty)$, admet une fonction réciproque sur un intervalle $J$** Sur $[1, +\infty)$, $f$ est strictement croissante donc bijective sur son image $J = [f(1), +\infty) = [-5, +\infty)$. 5c. **Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ avec $2 < \alpha < 3$** Calculons $g(2) = 8 - 6 - 3 = -1 < 0$ et $g(3) = 27 - 9 - 3 = 15 > 0$. Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $\alpha \in (2,3)$ tel que $g(\alpha) = 0$. L'unicité vient de la stricte croissance de $g$. 5d. **Montrer que $(g^{-1})'(0) = \frac{1}{3(\alpha^2 - 1)}$** Par la formule de dérivée de la fonction inverse : $$(g^{-1})'(0) = \frac{1}{g'(\alpha)} = \frac{1}{3\alpha^2 - 3} = \frac{1}{3(\alpha^2 - 1)}.$$ 6. **Fonction $g(x) = x + 2\sqrt{x+3} - 1$** 6a. **Vérifier que le domaine de définition est $[-3, +\infty)$** La racine impose $x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3$. 6b. **Étudier la continuité de $g$ sur $D_g$** Les fonctions $x$, $\sqrt{x+3}$ sont continues sur $[-3, +\infty)$ donc $g$ est continue sur ce domaine. 6c. **Montrer que $g$ admet une fonction réciproque sur un intervalle $J$** Calculons la dérivée : $g'(x) = 1 + \frac{2}{2\sqrt{x+3}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{x+3}} > 0$ pour $x \geq -3$. Donc $g$ est strictement croissante sur $[-3, +\infty)$ et admet une bijection inverse sur $J = [g(-3), +\infty) = [-1, +\infty)$. 6d. **Calculer $g(1)$ puis $(g^{-1})'(4)$** $g(1) = 1 + 2\sqrt{4} - 1 = 1 + 4 - 1 = 4$. Par la formule de la dérivée de l'inverse : $$(g^{-1})'(4) = \frac{1}{g'(g^{-1}(4))} = \frac{1}{g'(1)} = \frac{1}{1 + \frac{1}{\sqrt{4}}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{2}{3}.$$ 6e. **Vérifier que $g(x) = (\sqrt{x+3} + 1)^2 - 5$ et déterminer $g^{-1}(x)$** Développons : $$(\sqrt{x+3} + 1)^2 - 5 = (x+3) + 2\sqrt{x+3} + 1 - 5 = x + 2\sqrt{x+3} - 1 = g(x).$$ Pour $y = g(x)$, on a : $$y + 5 = (\sqrt{x+3} + 1)^2$$ $$\sqrt{x+3} + 1 = \sqrt{y + 5}$$ $$\sqrt{x+3} = \sqrt{y + 5} - 1$$ $$x + 3 = (\sqrt{y + 5} - 1)^2 = y + 5 - 2\sqrt{y + 5} + 1$$ $$x = y + 3 - 2\sqrt{y + 5}$$ Donc, $$g^{-1}(y) = y + 3 - 2\sqrt{y + 5}$$ avec $y \geq -1$. **Réponses finales:** - $5\sqrt{2} < 7\sqrt{3}$ - $4\sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot 3\sqrt{32} = 16 \in \mathbb{N}$ - $g'(x) = \frac{2x + 2}{3(x^2 + 2x - 1)^{2/3}}$ - $D_f = [1,2) \cup (2, +\infty)$, $f$ continue en 2, dérivable en 2 - $f$ strictement croissante sur $[1, +\infty)$ avec inverse sur $[-5, +\infty)$ - $\alpha$ unique solution de $g(x)=0$ dans $(2,3)$ - $(g^{-1})'(0) = \frac{1}{3(\alpha^2 - 1)}$ - Domaine de $g$ est $[-3, +\infty)$, $g$ continue et strictement croissante - $g^{-1}$ existe sur $[-1, +\infty)$ - $g(1) = 4$, $(g^{-1})'(4) = \frac{2}{3}$ - $g(x) = (\sqrt{x+3} + 1)^2 - 5$, $g^{-1}(x) = x + 3 - 2\sqrt{x + 5}$