1. **Énoncé du problème 79** : Montrer que pour un espace métrique compact $(X,d)$ et une application continue $f : X \to X$ telle que $d(f(x), f(y)) < d(x, y)$ pour $x \neq y$, il existe un unique point fixe $x \in X$ tel que $f(x) = x$. Ensuite, montrer que la suite définie par $x_{n+1} = f(x_n)$ converge vers ce point fixe. Enfin, discuter si ce résultat reste vrai sans compacité, en prenant l'exemple $f(x) = \frac{1}{2} \left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$ sur $\mathbb{R}$.\n\n2. **Démonstration unicité et existence du point fixe** :\n- Considérons la fonction $g(x) = d(x, f(x))$.\n- Comme $X$ est compact et $g$ est continue (car $f$ et $d$ le sont), $g$ atteint son minimum en un point $x^* \in X$.\n- Montrons que ce minimum est nul : supposons $g(x^*) = d(x^*, f(x^*)) > 0$.\n- Alors, en utilisant la propriété contractante stricte, on a $d(f(x^*), f(f(x^*))) < d(x^*, f(x^*)) = g(x^*)$.\n- Mais $g(f(x^*)) = d(f(x^*), f(f(x^*))) < g(x^*)$, ce qui contredit la minimalité de $g(x^*)$.\n- Donc $g(x^*) = 0$, c'est-à-dire $f(x^*) = x^*$, un point fixe.\n- Pour l'unicité, supposons deux points fixes distincts $x, y$ avec $f(x) = x$ et $f(y) = y$. Alors $d(f(x), f(y)) = d(x, y)$, ce qui contredit $d(f(x), f(y)) < d(x, y)$ pour $x \neq y$.\n- Donc le point fixe est unique.\n\n3. **Convergence de la suite itérée** :\n- Pour toute donnée initiale $x_0 \in X$, définissons $x_{n+1} = f(x_n)$.\n- La suite $(x_n)$ est dans $X$ compact, donc elle admet des points d'accumulation.\n- Montrons que la distance $d(x_n, x_{n+1})$ tend vers 0 car $d(x_{n+1}, x_{n+2}) = d(f(x_n), f(x_{n+1})) < d(x_n, x_{n+1})$.\n- La suite $(d(x_n, x_{n+1}))$ est strictement décroissante et positive, donc converge vers 0.\n- Par compacité, $(x_n)$ converge vers un point $x^*$, qui est nécessairement un point fixe par continuité de $f$.\n\n4. **Cas sans compacité** :\n- Prenons $f(x) = \frac{1}{2} \left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$ sur $\mathbb{R}$.\n- Cette fonction vérifie $|f(x) - f(y)| < |x - y|$ pour $x \neq y$.\n- Cependant, la suite $x_{n+1} = f(x_n)$ diverge vers $+\infty$ si $x_0$ est grand, donc ne converge pas dans $\mathbb{R}$.\n- Cela montre que la compacité est essentielle pour la convergence.\n\n---\n\n5. **Énoncé du problème 80** : Montrer qu'il existe une unique suite $u \in \ell^\infty(\mathbb{R})$ vérifiant $\forall n \in \mathbb{N}, u_n = \sum_{k=n}^{+\infty} 2^{-k-1} \frac{1 + 2|u_k|}{1 + |u_k|}$.\n\n6. **Définition de l'application $f$ sur $\ell^\infty(\mathbb{R})$** :\n- Pour $u = (u_n)$, définissons $f(u)_n = \sum_{k=n}^{+\infty} 2^{-k-1} \frac{1 + 2|u_k|}{1 + |u_k|}$.\n- Montrons que $f$ est bien définie et que $f(u) \in [0,2]^\mathbb{N}$ car chaque terme est positif et la somme des coefficients $2^{-k-1}$ est $2^{-n}$.\n\n7. **Distance sur $\ell^\infty(\mathbb{R})$** :\n- Considérons la distance $d(u,v) = \sum_{n=0}^\infty 2^{-n} \frac{|u_n - v_n|}{1 + |u_n - v_n|}$.\n- Cette distance est compatible avec la topologie produit et rend $[0,2]^\mathbb{N}$ compact.\n\n8. **Inégalité clé** :\n- Pour $x,y \geq 0$, on a\n$$\left|\frac{1+2x}{1+x} - \frac{1+2y}{1+y}\right| \leq \frac{|x-y|}{(1+x)(1+y)}.$$\n- Cette inégalité permet de montrer que $f$ est une contraction stricte pour la distance $d$.\n\n9. **Application du théorème du point fixe (exercice 79)** :\n- Comme $f$ est une contraction stricte sur un espace compact, il admet un unique point fixe $u$.\n- La suite itérée $u^{(m+1)} = f(u^{(m)})$ converge vers ce point fixe.\n\n**Réponses finales** :\n- Exercice 79 : $f$ admet un unique point fixe $x^*$ et la suite $x_{n+1} = f(x_n)$ converge vers $x^*$ si $X$ est compact. Sans compacité, la convergence peut échouer.\n- Exercice 80 : Il existe une unique suite $u \in \ell^\infty(\mathbb{R})$ solution de l'équation donnée, obtenue comme point fixe de $f$ sur $[0,2]^\mathbb{N}$ muni de la distance $d$.