1. Problème : Étudier la fonction $g$ définie par $g(x) = (x-1)\sqrt{x} - 1$. 2. Ensemble de définition : - Le terme $\sqrt{x}$ impose que $x \geq 0$. - $g$ est donc définie sur $\boxed{[0,+\infty[}$. 3. Continuité de $g$ sur $[0,+\infty[$ : - $\sqrt{x}$ est continue sur $[0,+\infty[$. - $(x-1)$ est une fonction polynomiale continue sur $\mathbb{R}$. - Le produit de fonctions continues est continu. - La fonction constante $-1$ est continue. - Donc, $g$ est continue sur $[0,+\infty[$. 4. Équation $g(x)=0$ sur $[\frac{3}{2},2]$ : a) Montrons qu'il existe au moins une solution $\alpha$. - Calculons $g(\frac{3}{2})$: $$g(\tfrac{3}{2}) = \left(\tfrac{3}{2} -1\right) \sqrt{\tfrac{3}{2}} -1 = \tfrac{1}{2} \times \sqrt{1.5} -1\approx 0.5 \times 1.2247 -1 = 0.61235 -1 = -0.38765 <0.$$ - Calculons $g(2)$: $$g(2) = (2-1) \sqrt{2} -1 = 1 \times 1.4142 -1 = 0.4142 >0.$$ - Comme $g$ est continue sur $[\frac{3}{2},2]$ et change de signe, selon le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins une solution : $\alpha \in [1.5,2]$ telle que $g(\alpha) = 0$. b) Vérifions que $1.7 < \alpha < 1.9$ : - Calculons $g(1.7)$: $$g(1.7) = (1.7 -1) \sqrt{1.7} -1 = 0.7 \times 1.303 -1 = 0.9121 -1 = -0.0879 <0.$$ - Calculons $g(1.9)$: $$g(1.9) = (1.9 -1) \sqrt{1.9} -1 = 0.9 \times 1.3784 -1 = 1.2406 -1 = 0.2406 > 0.$$ - Donc, $\alpha$ est entre 1.7 et 1.9. - La valeur approchée par défaut à $10^{-1}$ près est $\boxed{1.7}$. 5. Étude de la fonction $f$ définie par parties : $$f(x) = \begin{cases} -x-2 & x \leq -1 \\ \tfrac{1}{2}x^2(x-3) & -1 < x < 4 \\ 8 & x \geq 4 \end{cases}$$ 6. Continuité de $f$ : - La fonction polynomiale est continue. - Les morceaux sont continus sur leur domaine. - Vérifions à $x=-1$: - $\lim_{x \to -1^-} f(x) = -(-1)-2 = 1-2 = -1$ - $f(-1) = -(-1)-2 = -1$ puisque dans la définition $f$ est donnée pour $x \leq -1$. - $\lim_{x \to -1^+} \frac{1}{2}x^2(x-3) = \frac{1}{2} ( -1 )^2 (-4) = \frac{1}{2} \times 1 \times (-4) = -2$ - Les limites à $-1$ ne coïncident pas donc $f$ est discontinue en $-1$. - Vérifions à $4$: - $\lim_{x \to 4^-} \frac{1}{2} 4^2 (4-3) = \frac{1}{2} \times 16 \times 1 = 8$ - $f(4) = 8$ - Continuité en 4. - $f$ est continue sur $(-1,4)$, et continue à $4$, discontinue en $-1$. - Sur $(-\infty,-1)$ continue. - Donc, $\boxed{f \text{ est continue sur } (-\infty,-1) \cup (-1,4] }$. 7. Nombre de solutions de $f(x)=k$ : a) Pour $k=-3$ : - Sur $x \leq -1$, $f(x) = -x-2$, donc $f(x) = -3 \Rightarrow -x-2 = -3 \Rightarrow x = 1$ (mais $x=1> -1$, hors domaine de ce morceau). - Sur $-1 < x <4$, $f$ varie entre $-2$ et environ la valeur maximale vers $1$, aucune solution $f(x)=-3$ ici. - Sur $x \geq 4$, $f(x) =8 \neq -3$. - Donc aucune solution réelle. b) Pour $k = -2$ : - Sur $x \leq -1$, $-x-2 = -2 \Rightarrow -x = 0 \Rightarrow x=0$, 0 > -1 donc pas dans domaine. - À $x=-1$, $f(-1) = -(-1)-2 = -1$, pas égal à -2. - Dans $]-1,4[$, minimum près de $x=3$ valeur $-2$, donc $f(x) = -2$ admet solutions près de 3. - Vérification $x=3$: $f(3) = \frac{1}{2} \, 9(3-3) = 0$ donc pas -2. - Il existe 2 solutions car fonction cubique vaut -2 à deux endroits. - Sur $x \geq 4$, $f=8 \neq -2$. c) Pour $k = -1$ : - Sur $x \leq -1$, $-x-2 = -1 \Rightarrow -x = 1 \Rightarrow x = -1$, solution dans domaine. - Sur $-1 < x <4$, $f(-1^+)=-2$, pas égal à -1, et $f(1) > 0$, donc une solution entre. - Sur $x\geq 4$, $f=8$, pas égal à -1. - Donc deux solutions. 8. Résoudre $f(x)=0$ : - Pour $x \leq -1$, on a $-x - 2 = 0 \Rightarrow x = -2$ dans le domaine. - Pour $-1 < x < 4$, résoudre $\frac{1}{2} x^2 (x - 3) = 0$: - $x^2=0 \Rightarrow x=0$ - $x-3=0 \Rightarrow x=3$ - 0 et 3 sont dans $(-1,4)$ - Pour $x \geq 4$, $f=8 \neq 0$. - Solutions: $\boxed{x = -2,0,3}$. 9. Images de $f$ sur divers intervalles : a) $[0,+\infty[$ : - Sur $[0,4)$, $f(x) = \frac{1}{2} x^2 (x-3)$. - Pour $x=0$, $f(0) =0$. - Pour $x=4$, $f(4)=8$. - Pour $x >4$, $f=8$. - Donc image: $[?,8]$. - Examens montrent image: $[-2,8]$. b) $[-2,2]$ : - $f$ varie de $f(-2) = -(-2) -2 = 0$ (car $-2 \\leq -1$) - Valeurs entre $-2$ et $2$ dans la partie polynomiale. - Valeurs approchées entre environ $-2$ et $1$. c) $[-2,1]$ analyse similaire avec images dans intervalle. 10. Maxima et minima : a) $f$ admet un maximum au point correspondant à $x=1$ dans l'intervalle cubique avec $f(1) \approx 0.5 \times 1^2 (1-3) = 0.5 \times 1 \times (-2) = -1$ - Par lecture, maximum local vers $y=1$ à $x=1$. b) $f$ admet un minimum près de $x=3$ avec $f(3)=0$ mais $f(3)=-2$ par tableau, donc minimum local $y=-2$. 11. Parallélogramme ABCD : - $AB=5$, $AD=4$, angle $BAD = \pi/3$. - $I$ milieu de $[AD]$, $H$ projection orthogonale de $D$ sur $(AB)$. 12. Scalar products et calculs vectoriels : 1) Calculer $\overrightarrow{HA} \cdot \overrightarrow{DH}$ et $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{CB}$. 2) Trouver $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}$ et déduire $AH$. 3) Montrer \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = AD^2 - \overrightarrow{DB} \cdot \overrightarrow{DA} \]. 13. Propriété géométrique sur $M$ : a) Montrer que pour tout point $M$ du plan on a $$MA^2 + MD^2 = 2 MI^2 + 8.$$ b) Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $$MA^2 + MD^2 = 16.$$ - Cet ensemble est un cercle centré en $I$ de rayon déterminé par l'équation ci-dessus.