1. Énoncé du problème Partie B : Trouver les réels $\alpha$ et $b$ pour que la fonction $f$ définie par $$f(x) = \begin{cases} \alpha + \sqrt{-x}, & x < -1 \\ 7, & x = -1 \\ 3x - b, & x > -1 \end{cases}$$ soit continue en $x = -1$. 2. Rappel de la continuité : Une fonction est continue en un point $a$ si et seulement si $$\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a) = \lim_{x \to a^+} f(x).$$ 3. Calcul de la limite à gauche en $-1$ : $$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} \left( \alpha + \sqrt{-x} \right) = \alpha + \sqrt{-(-1)} = \alpha + 1.$$ 4. Calcul de la limite à droite en $-1$ : $$\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} (3x - b) = 3(-1) - b = -3 - b.$$ 5. Continuité en $-1$ impose : $$\alpha + 1 = f(-1) = 7 = -3 - b.$$ 6. Résolution du système : $$\alpha + 1 = 7 \implies \alpha = 6,$$ $$-3 - b = 7 \implies b = -10.$$ 7. Conclusion : Les valeurs $\alpha = 6$ et $b = -10$ assurent la continuité de $f$ en $-1$. --- Exercice 5 : 1. Énoncé : Déterminer le nombre de trios gagnants parmi 7 élèves. 2. Rappel : Le nombre de combinaisons de $k$ éléments parmi $n$ est donné par $$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}.$$ 3. Calcul : Ici, $n=7$ et $k=3$, donc $$C_7^3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35.$$ 4. Conclusion : Il y a 35 trios possibles pour représenter la ville de Daloa au concours national.