1. \textbf{Énoncé du problème :} Donner f(x) = \frac{xe^{2} - 2x + 3}{2x(x-2)} et la courbe (C) représentative. 2. \textbf{Formule de f(x) :} \n$f(x) = \frac{xe^{2} - 2x + 3}{2x(x-2)}$ \textbf{Partie 1-a) Détermination de l'ensemble de définition} : \nLe dénominateur est nul quand $2x(x-2)=0 \Rightarrow x=0$ ou $x=2$. Donc \n$$D_f = \mathbb{R} \setminus \{0, 2\}$$ 3. \textbf{1-b) Limites aux bornes de l'ensemble de définition} : - Quand $x \to 0^+$, le dénominateur tend vers 0+, le numérateur tend vers $0 * e^{2} - 0 + 3 = 3$. Donc $f(x) \to +\infty$. - Quand $x \to 0^-$, dénominateur tend vers 0-, numérateur $\to 3$, donc $f(x) \to -\infty$. - Quand $x \to 2^+$, dénominateur $\to 0^{+}$, numérateur $\to 2e^{2} -4 + 3 = 2e^{2} -1$, donc $f(x) \to +\infty$ ou $-\infty$ selon le signe de $2e^{2} -1$ (positif puisque $e^2 \approx 7.39$), donc $f(x) \to +\infty$. - Quand $x \to 2^-$, dénominateur $\to 0^{-}$, numérateur même limite, donc $f(x) \to -\infty$. - Pour $x \to +\infty$, le terme dominant au numérateur est $xe^{2}$, au dénominateur $2x^2$, donc $$f(x) \sim \frac{xe^{2}}{2x^2} = \frac{e^{2}}{2x} \to 0^+.$$ - Pour $x \to -\infty$, même raisonnement donc $f(x) \to 0^-$. 4. \textbf{1-c) Asymptotes} : - Verticales : $x=0$ et $x=2$. - Horizontale : $y=0$. 5. \textbf{2) Dérivée $f'(x)$} : Notons $$u = xe^{2} - 2x +3, \quad v = 2x(x-2) = 2x^{2} -4x.$$ Calculons $u' = e^{2} - 2$, $v' = 4x -4$. La dérivée est $$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^{2}} = \frac{(e^{2} - 2)(2x^{2} - 4x) - (xe^{2} - 2x + 3)(4x - 4)}{(2x^{2} - 4x)^{2}}.$$ Simplification du numérateur : $$N = (e^{2} - 2)(2x^{2} - 4x) - (xe^{2} - 2x + 3)(4x - 4).$$ Développons : $$N = 2(e^{2} - 2)x^{2} - 4(e^{2} - 2)x - [4x^{2}e^{2} - 4xe^{2} - 8x^{2} + 8x +12x -12].$$ Après simplification, $$N = 2(e^{2} - 2)x^{2} - 4(e^{2} - 2)x - 4x^{2}e^{2} + 4xe^{2} + 8x^{2} - 20x + 12.$$ Regroupons les termes : $$N = (2e^{2} - 4 - 4e^{2} + 8)x^{2} + (-4e^{2} + 8 + 4e^{2} - 20)x + 12 = (6 - 2e^{2})x^{2} - 12x + 12.$$ 6. \textbf{3-a) Étude du signe de $f'(x)$ :} Étudions $N(x) = (6 - 2e^{2})x^{2} -12x +12$. $6 - 2e^{2} < 0$ car $e^{2} \approx 7.39$ donc $6 - 14.78 \approx -8.78$. C'est une parabole vers le bas. Discriminant : $$\Delta = (-12)^2 - 4(6 - 2e^{2})(12) = 144 - 48(6 - 2e^{2}) = 144 - 288 + 96e^{2} = -144 + 96e^{2}.$$ Calcul approximative : $96 e^{2} \approx 96 * 7.39 = 709.44$, donc $\Delta > 0$. Racines : $$x_{1,2} = \frac{12 \pm \sqrt{\Delta}}{2(6 - 2e^{2})} = \frac{12 \pm \sqrt{ -144 + 96e^{2}}}{2(6 - 2e^{2})}.$$ 7. \textbf{3-b) Tableau de variation :} - Pour $x < x_1$, $N(x) < 0$ donc $f'(x) < 0$ (c'est une parabole vers le bas). - Entre $x_1$ et $x_2$, $N(x) > 0$ donc $f'(x) > 0$. - Pour $x > x_2$, $N(x) < 0$ donc $f'(x) < 0$. Attention à $x=0$ et $x=2$ où la fonction n'est pas définie. 8. \textbf{4) Représentation graphique (schéma de variation) :} - Asymptotes verticales en $x=0$ et $x=2$. - Asymptote horizontale $y=0$. - Courbe admet un maximum local sur $]0,2[$ entre $x_1$ et $x_2$. 9. \textbf{Tangente horizontale au point $(-3 ; 1)$}: - Vérifions $f(-3) = 1$ : calculons $$f(-3) = \frac{-3e^{2} + 6 + 3}{2(-3)(-5)} = \frac{-3e^{2} + 9}{30}.$$ Si $f(-3) = 1$, alors $$-3e^{2} + 9 = 30 \Rightarrow -3e^{2} = 21 \Rightarrow e^{2} = -7,$$ ce qui est faux. Donc pour que la courbe passe par $(-3,1)$, on doit ajuster les constantes $a$ et $b$, mais la fonction ne dépend pas explicitement de $a$ et $b$ selon le texte. si $f$ dépendait de $a,b$, la condition de tangente horizontale demanderait $f(-3) =1$ et $f'(-3) = 0$. 10. \textbf{Conclusion} : - Ensemble de définition $D_f = \mathbb{R} \setminus \{0,2\}$. - Limites et asymptotes données. - Expression et signe de $f'(x)$ trouvés. - Étude de variation et tableau associés. - Tangente horizontale doit vérifier $f'(-3) = 0$, mais ici pas réalisable sans définir $a,b$ dans $f$. \textbf{Réponse finale} : \begin{cases} D_f = \mathbb{R} \setminus \{0, 2\}\\ \text{Asymptotes verticales : } x=0, x=2\\ \text{Asymptote horizontale : } y=0\\ \text{Dérivée } f'(x) = \frac{(6 - 2e^{2})x^{2} - 12x + 12}{(2x(x-2))^{2}}\\ \text{Variations } : f\text{ décroissante, croissante, décroissante selon } x < x_1, x_1 < x < x_2, x > x_2 \end{cases}