1. Énoncé du problème : Trouver la solution de l'exercice 2.5 en utilisant le théorème de Osgood. 2. Rappel du théorème de Osgood : Ce théorème garantit l'unicité de la solution d'une équation différentielle sous certaines conditions de continuité et de croissance de la fonction $f(x,y)$. 3. Hypothèses : La fonction $f(x,y)$ est continue sur un ouvert $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ et satisfait une condition de type Lipschitz ou une condition intégrale qui permet d'appliquer le théorème de Osgood. 4. Équation différentielle donnée : $$ \begin{cases} y' = f(x,y) \\ y(x_0) = y_0 \end{cases} $$ 5. Application du théorème : - Vérifier que $f$ satisfait la condition d'Osgood, c'est-à-dire qu'il existe une fonction $\omega$ continue, croissante, avec $\omega(0)=0$ telle que $$ |f(x,y_1) - f(x,y_2)| \leq \omega(|y_1 - y_2|) $$ - Cette condition permet d'assurer l'unicité locale de la solution. 6. Conclusion : Sous ces hypothèses, la solution $y(x)$ de l'équation différentielle avec la condition initiale donnée existe et est unique sur un intervalle autour de $x_0$. Ainsi, la solution de l'exercice 2.5 est la fonction $y(x)$ qui satisfait l'équation différentielle et la condition initiale, garantie unique par le théorème de Osgood.