1. Énoncé : Pour le secteur $0\leq \theta \leq \alpha$, $0\leq \rho \leq R$, écrire l'intégrale double correcte. 2. Rappel : En coordonnées polaires, l'élément d'aire est $dA = \rho d\rho d\theta$. 3. Donc l'intégrale doit être écrite comme $$\int_0^\alpha \int_0^R f(\rho,\theta) \rho d\rho d\theta$$ 4. Réponse correcte : d. --- 1. Énoncé : Un changement de variables $(u,v) \mapsto (x,y)$ fait intervenir $|\det J|$. 2. Rappel : Le jacobien $J$ est la matrice des dérivées partielles, et le changement de variables dans une intégrale double nécessite de multiplier par $|\det J|$. 3. Réponse : Vrai. --- 1. Énoncé : Calculer $I=\iint_{[0,1]^2} (x+y) dx dy$. 2. Calcul : $$I = \int_0^1 \int_0^1 (x+y) dx dy = \int_0^1 \left( \int_0^1 x dx + \int_0^1 y dx \right) dy$$ 3. Intégration intérieure : $$\int_0^1 x dx = \frac{1}{2}, \quad \int_0^1 y dx = y \cdot 1 = y$$ 4. Donc $$I = \int_0^1 \left( \frac{1}{2} + y \right) dy = \int_0^1 \frac{1}{2} dy + \int_0^1 y dy = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$ 5. Réponse : $I=1$. --- 1. Énoncé : Dans un ouvert simplement connexe, la condition $P_y = Q_x$ assure : 2. Rappel : Cette condition est la condition de compatibilité pour qu'un champ vectoriel soit gradient d'un potentiel. 3. Réponse correcte : b. L'existence d'un potentiel. --- 1. Énoncé : L'aire d'une région polaire $\rho=\rho(\theta)$ s'écrit $\frac{1}{2} \int \rho^2 d\theta$. 2. Rappel : L'aire en coordonnées polaires est donnée par $$A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} \rho(\theta)^2 d\theta$$ 3. Réponse : Vrai. --- 1. Énoncé : Aire du triangle $U = \{x \geq 0, y \geq 0, x+y \leq 3\}$. 2. Calcul : Le triangle a pour base et hauteur 3. 3. Aire = $\frac{1}{2} \times 3 \times 3 = \frac{9}{2} = 4.5$. --- 1. Énoncé : Un champ non conservatif peut avoir une circulation nulle sur un contour particulier. 2. Réponse : Vrai. --- 1. Énoncé : La condition $\partial P/\partial y = \partial Q/\partial x$ suffit sans hypothèse topologique. 2. Réponse : Faux. --- 1. Énoncé : La circulation $\int_C (x^2 - y) dx + (y^2 + x) dy$ entre $A(-1,-1)$ et $B(1,1)$ : 2. Réponse : b. Dépend du chemin en général. --- 1. Énoncé : Sur $U = \{x \geq 1, y \geq 1, x+y \leq 3\}$, $\iint (x+y)^2 dx dy$ est finie. 2. Réponse : Vrai. --- 1. Énoncé : Deux domaines disjoints d'aires $A_1, A_2$ ont une aire totale : 2. Réponse : d. $A_1 + A_2$. --- 1. Énoncé : Pour $\vec{F}(x,y) = \left(-\frac{y}{x^2 + y^2}, \frac{x}{x^2 + y^2}\right)$ sur $\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$ : 2. Réponses : - a. La divergence est 0 partout. - c. La circulation sur le cercle unité vaut $2\pi$. --- 1. Énoncé : L'aire d'un domaine plan peut s'obtenir par $\frac{1}{2} \oint x dy - y dx$. 2. Réponse : Vrai. --- 1. Énoncé : Aire de $U = \{x \geq 0, y \geq 0, x^2 + y^2 \leq 1\}$. 2. C'est un quart de disque unité. 3. Aire = $\frac{\pi}{4}$. 4. Réponse : b. --- 1. Énoncé : Dans le disque unité, passage en polaires pour $\iint f(x,y) dx dy$ donne : 2. Réponse : a. $$\int_0^{2\pi} \int_0^1 f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) \rho d\rho d\theta$$ --- 1. Énoncé : Pour le triangle $A(0,0), B(1,1), C(2,0)$, choisir une écriture correcte de $\iint_U (x+y) dx dy$. 2. Réponse : b. $$\int_0^2 \int_0^{\min(x, 2-x)} (x+y) dy dx$$ --- 1. Énoncé : La fonction $\frac{1}{x^2 + y^2}$ est localement intégrable en dimension 2. 2. Réponse : Faux (singularité non intégrable en 0). --- 1. Énoncé : Pour $U: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leq 1$, le changement $x = au, y = bv$ donne : 2. Rappel : $dx dy = |\det| dudv = ab dudv$. 3. Réponse : b. --- 1. Énoncé : Soit $U = \{x \geq 0, y \geq 0, x+y \leq 3\}$. Calculer $I = \iint_U (x+y) dx dy$. 2. Définition de $U$ : $x,y \geq 0$, $x+y \leq 3$. 3. Intégrale : $$I = \int_0^3 \int_0^{3 - x} (x + y) dy dx$$ 4. Intégration intérieure : $$\int_0^{3 - x} (x + y) dy = x(3 - x) + \frac{(3 - x)^2}{2}$$ 5. Simplification : $$= 3x - x^2 + \frac{9 - 6x + x^2}{2} = 3x - x^2 + \frac{9}{2} - 3x + \frac{x^2}{2} = \frac{9}{2} - \frac{x^2}{2}$$ 6. Intégration extérieure : $$I = \int_0^3 \left( \frac{9}{2} - \frac{x^2}{2} \right) dx = \frac{9}{2} \times 3 - \frac{1}{2} \times \frac{27}{3} = \frac{27}{2} - \frac{27}{6} = \frac{81}{6} - \frac{27}{6} = \frac{54}{6} = 9$$ 7. Réponse : $I=9$. --- 1. Énoncé : Pour $(P,Q) = (2xy, x^2 + 2y)$, un potentiel possible est : 2. Vérification : - $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy$ - $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 2y$ 3. Intégration partielle : $$f(x,y) = \int 2xy dx = x^2 y + h(y)$$ 4. Dérivée par rapport à $y$ : $$\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + h'(y) = x^2 + 2y$$ 5. Donc $h'(y) = 2y \Rightarrow h(y) = y^2 + C$. 6. Potentiel : $$f(x,y) = x^2 y + y^2 + C$$ 7. Réponse correcte : d.