1. Problème 4 : Suites croissantes et bornes. 1. Étant donné $(U_n)_{n \geq 0}$ une suite croissante, que peut-on dire de $\inf \{U_n : n \in \mathbb{N}\}$ et de $\min \{U_n : n \in \mathbb{N}\}$ ? - Comme la suite est croissante, le plus petit terme est le premier, donc $\min \{U_n\} = U_0$. - L'infimum de cet ensemble est aussi $U_0$ car aucun terme n'est plus petit. 2. Si $\max \{U_n \}$ existe, que peut-on en dire ? - La suite croissante est majorée et atteint son maximum finiment, donc elle est stationnaire à partir d'un certain rang : $\exists N, \forall n \geq N, U_n = \max \{U_n\}$. 3. Discuter selon la valeur de $\sup \{U_n\}$ pour la suite croissante. - Si $\sup \{U_n\} = +\infty$, la suite est strictement croissante non bornée. - Sinon, si $\sup \{U_n\} < +\infty$, la suite est bornée et croissante, elle converge vers $\sup \{U_n\}$. 4. Cas d'une suite décroissante $(U_n)_{n \geq 0}$ : - Par symétrie, $\max \{U_n\} = U_0$ (premier terme), $\inf \{U_n\}$ existe si la suite est minorée. - Si $\inf \{U_n\}$ existe, la suite converge vers cette borne inférieure. --- 2. Problème 5 : Partie majorée $A \subset \mathbb{R}$ avec $x \in A$. 1. Montrer si $x < \sup A$, alors $\sup (A \setminus \{x\}) = \sup A$. - $\sup A$ est la borne supérieure la plus petite majorant $A$. - Ôter un élément $x$ strictement inférieur à $\sup A$ ne change pas la borne supérieure. - Donc $\sup (A \setminus \{x\}) = \sup A$. 2. Contraposée de cette implication: - Si $\sup (A \setminus \{x\}) \neq \sup A$, alors $x \geq \sup A$. 3. Si $\sup (A \setminus \{x\}) < \sup A$, alors $x = \sup A$ car $x$ est le seul élément égal au supremum. 4. Formulation analogue pour $A$ minorée: - Si $x > \inf A$, alors $\inf (A \setminus \{x\}) = \inf A$. - Si $\inf (A \setminus \{x\}) > \inf A$, alors $x = \inf A$. --- 3. Problème 6 : Montrer que $$\sup \{|x - y| : x \in A, y \in A\} = \sup A - \inf A$$ 1. Vérification que pour tout $x, y \in A$, $$|x - y| \leq \sup A - \inf A.$$ - En effet, $x \leq \sup A$ et $y \geq \inf A$, donc, $$|x - y| \leq \max(|x - y|, |y - x|) \leq \sup A - \inf A.$$ - Cela montre que $\sup \{|x - y| extrm{ pour } x,y\in A\} \leq \sup A - \inf A$. 2. L'égalité est atteinte. Par exemple, prenez $x = \sup A$ et $y = \inf A$ alors $$|\sup A - \inf A| = \sup A - \inf A.$$ Donc, $$\sup \{|x - y| : x,y\in A\} = \sup A - \inf A.$$