1. Énoncé du problème : Étudier la fonction $$f(x)=\frac{x^2 - 4x + 6}{x^2 - 4x + 8}$$ et les fonctions $$u(x)=x^2 - 4x + 4$$, $$v(x) = \frac{x+2}{x+4}$$ selon les questions posées. 2. Définition du domaine de f, $$D_f$$ : comme le dénominateur ne doit pas être nul, on résout $$x^2 -4x + 8 = 0$$. Calcul du discriminant : $$\Delta = (-4)^2 - 4\times1\times8 = 16 - 32 = -16 < 0$$ donc pas de racines réelles. Ainsi, le dénominateur ne s'annule jamais sur $$\mathbb{R}$$, donc $$D_f = \mathbb{R}$$. 3. Montrer que $$f$$ est majorée par 1 : On considère $$f(x) - 1 = \frac{x^2 -4x + 6}{x^2 -4x + 8} - 1 = \frac{(x^2 -4x + 6) - (x^2 -4x + 8)}{x^2 -4x + 8} = \frac{-2}{x^2 -4x + 8}$$. Le dénominateur est positif car $$x^2 -4x + 8 = (x-2)^2 + 4 > 0$$. Donc $$f(x) - 1 = \frac{-2}{\text{positif}} < 0$$. Ainsi, $$f(x) < 1$$ pour tout $$x \in D_f$$, ce qui signifie que $$f$$ est majorée par 1. 4. Calcul de $$f(2)$$ : $$f(2) = \frac{2^2 -4\times2 + 6}{2^2 -4\times2 + 8} = \frac{4 -8 +6}{4 -8 +8} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$. 5. Montrer que $$f$$ est minorée par $$\frac{1}{2}$$ : On étudie $$f(x) - \frac{1}{2} = \frac{x^2 -4x + 6}{x^2 -4x + 8} - \frac{1}{2} = \frac{2(x^2 -4x + 6) - (x^2 -4x + 8)}{2(x^2 -4x + 8)} = \frac{x^2 -4x + 4}{2(x^2 -4x + 8)} = \frac{(x-2)^2}{2((x-2)^2 + 4)}$$. Le numérateur et le dénominateur sont positifs ou nuls, d'où $$f(x) - \frac{1}{2} \geq 0$$. Donc, $$f(x) \geq \frac{1}{2}$$ et la fonction $$f$$ est minorée par $$\frac{1}{2}$$. 6. Fonctions $$u$$ et $$v$$ : -Domaines : $$D_u = \mathbb{R}$$ car $$u$$ est un polynôme. Pour $$v(x) = \frac{x+2}{x+4}$$, $$D_v = \mathbb{R} \setminus \{-4\}$$ (dénominateur non nul). 7. Tableau des variations de $$u$$ : $$u(x) = (x-2)^2$$, une parabole positive avec un minimum en $$x=2$$. - $$u'(x) = 2(x-2)$$, nul en $$2$$. - $$u$$ décroît sur $$(-\infty, 2]$$, croît sur $$[2, +\infty)$$. 8. Tableau des variations de $$v$$ : - $$v'(x) = \frac{(1)(x+4) - (x+2)(1)}{(x+4)^2} = \frac{x+4 - x - 2}{(x+4)^2} = \frac{2}{(x+4)^2} > 0$$. Donc, $$v$$ est strictement croissante sur chacun des intervalles de son domaine. 9. Domaine commun $$D_{vou} = D_v \cap D_u = D_v = \mathbb{R} \setminus \{-4\}$$. 10. Vérification de l'égalité pour $$x \in D_{vou}$$ : Calcul de $$v(x)u(x) = \frac{x+2}{x+4} \times (x-2)^2 = \frac{(x+2)(x-2)^2}{x+4}$$. Calcul de $$f(x) = \frac{x^2 -4x + 6}{x^2 -4x + 8} = \frac{(x-2)^2 + 2}{(x-2)^2 + 4}$$ (car $$x^2 -4x + a = (x-2)^2 + (a-4)$$). Cependant, on remarque que $$v(x)u(x) = f(x)$$ ne semble pas directement équivalent. Simplifions pour vérifier : $$v(x)u(x) = \frac{(x+2)(x-2)^2}{x+4} = \frac{(x-2)^2 (x+2)}{x+4}$$. Sinon, écrire $$f(x)$$ sous une autre forme pour comparaison : non possible pour identité simple. Sans autre information, on considère donné que $$f(x) = v(x) u(x)$$ comme énoncé. 11. Étude des variations de $$f$$ sur $$(-\infty, 2]$$ et $$[2, +\infty)$$ : Au point 5 on a montré $$f(x) \geq 1/2$$, de plus $$f(2) = 1/2$$. On peut déduire que $$f$$ a un minimum en $$x=2$$. 12. Tableau de variations pour $$f$$ et $$-2f$$ : - $$f$$ décroît jusqu'à $$2$$ puis croît. - $$-2f$$ croît jusqu'à $$2$$ puis décroît. **Réponses aux questions générales :** - Tableau de variations de $$f$$ : décroissant sur $$(-\infty, 2]$$, croissant sur $$[2, +\infty)$$, minimum en $$x=2$$. - $$f$$ est défini sur $$\mathbb{R}$$. - $$f$$ est bornée entre $$\frac{1}{2}$$ et $$1$$. - Pour les autres fonctions et intervalles (comme $$g$$, $$f([0,1])$$, $$f([1,2])$$, $$f([0,4])$$, $$g([2, +\infty[)$$), les expressions nécessiteraient les définitions explicites de $$g$$ ainsi que la fonction $$g$$ elle-même, non fournies ici. Slug : "fonction fractionnaire" Subject : "analyse mathématique" Desmos : {"latex":"f(x)=\frac{x^{2}-4x+6}{x^{2}-4x+8}","features":{"intercepts":true,"extrema":true}} q_count : 12