1. **Énoncé du problème :** Soit $E = C^1([0,1], \mathbb{R})$ l'ensemble des fonctions continûment dérivables sur $[0,1]$, avec la norme $$\|g\| = \|g'\|_\infty + \|g\|_\infty$$ On définit également une autre norme équivalente sur $E$ : $$\|g\|_1 = \|g'\|_\infty + |g(0)|$$ Sachant que $(F, \| \cdot \|_\infty)$ est un espace de Banach (où $F = C([0,1], \mathbb{R})$ avec la norme du supremum), montrer que $(E, \| \cdot \|)$ est Banach également. 2. **Rappel des notions importantes :** - Un espace de Banach est un espace normé complet, i.e. toute suite de Cauchy converge dans cet espace. - $(F, \| \cdot \|_\infty)$ est complet. 3. **Stratégie de la preuve :** On montrera que la norme $\| \cdot \|$ est équivalente à la norme $\| \cdot \|_1$, et que $(E, \| \cdot \|_1)$ est Banach. Par passage à une norme équivalente, $(E, \| \cdot \|)$ sera aussi Banach. 4. **Équivalence des normes :** Pour $g \in E$, - On a trivialement $$|g(0)| \leq \|g\|_\infty$$ par définition de la norme du supremum. - D'autre part, la formule d'intégration donne pour tout $x \in [0,1]$ : $$g(x) = g(0) + \int_0^x g'(t) dt$$ Alors, $$|g(x)| \leq |g(0)| + \int_0^1 |g'(t)| dt \leq |g(0)| + \|g'\|_\infty$$ Donc, $$\|g\|_\infty = \sup_{x \in [0,1]} |g(x)| \leq |g(0)| + \|g'\|_\infty$$ 5. **Comparaison des normes :** On en déduit : $$\|g\| = \|g'\|_\infty + \|g\|_\infty \leq \|g'\|_\infty + (|g(0)| + \|g'\|_\infty) = 2\|g'\|_\infty + |g(0)|$$ et $$\|g\|_1 = \|g'\|_\infty + |g(0)| \leq \|g'\|_\infty + \|g\|_\infty = \|g\|$$ Donc il existe des constantes positives $C_1 = 1$ et $C_2 = 2$ telles que $$C_1 \|g\|_1 \leq \|g\| \leq C_2 \|g\|_1$$ Ceci prouve que les normes $\|\cdot\|$ et $\|\cdot\|_1$ sont équivalentes. 6. **Complétude de $(E,\|\cdot\|_1)$ :** Soit $\{g_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de Cauchy pour $\|\cdot\|_1$. Alors $\{g_n'\}$ est Cauchy dans $(F, \|\cdot\|_\infty)$, donc converge vers une fonction $h$ continue. De plus, $\{g_n(0)\}$ est une suite de réels de Cauchy, donc converge vers un réel $a$. 7. **Construction de la limite :** Définissons la fonction $$g(x) = a + \int_0^x h(t) dt$$ Alors $g$ est $C^1$, avec $g' = h$ et $g(0) = a$. 8. **Convergence dans $(E,\|\cdot\|_1)$ :** On a $$\|g_n - g\|_1 = \|g_n' - g'\|_\infty + |g_n(0) - g(0)| \to 0$$ car $g_n' \to h = g'$ uniformément et $g_n(0) \to a = g(0)$. Ainsi $(E, \|\cdot\|_1)$ est Banach. 9. **Conclusion :** Puisque $\|\cdot\|$ est équivalente à $\|\cdot\|_1$ et $(E, \|\cdot\|_1)$ est Banach, $(E, \|\cdot\|)$ est aussi Banach. **Réponse finale :** $$\boxed{(E, \|\cdot\|) \text{ est un espace de Banach.}}$$