1. **Énoncé du problème :** Nous avons un mobile qui commence au point $(0,0)$ et suit un trajet en spirale carrée avec des segments de longueurs données dans l'ordre : droite $8$, haut $6$, gauche $\frac{24}{5}$, bas $\frac{9}{2}$, droite $\frac{27}{8}$, haut $6$, gauche $\frac{384}{125}$, bas $\frac{96}{25}$, etc. 2. **But :** Trouver les coordonnées théoriques du point d'arrivée du mobile après un nombre infini de segments, c'est-à-dire la limite du point final de la spirale. 3. **Méthode :** Le mobile effectue un mouvement en spirale avec des segments qui forment une série géométrique alternée en $x$ et $y$. - En abscisse ($x$), les déplacements sont : $$+8, -\frac{24}{5}, +\frac{27}{8}, -\frac{384}{125}, \ldots$$ - En ordonnée ($y$), les déplacements sont : $$+6, -\frac{9}{2}, +6, -\frac{96}{25}, \ldots$$ 4. **Analysons la série en $x$ :** Les termes sont : $$8, -\frac{24}{5}, +\frac{27}{8}, -\frac{384}{125}, \ldots$$ Calculons le rapport $r_x$ entre termes consécutifs : $$r_x = \frac{-\frac{24}{5}}{8} = -\frac{24}{5} \times \frac{1}{8} = -\frac{3}{5} = -0.6$$ Vérifions avec le terme suivant : $$\frac{\frac{27}{8}}{-\frac{24}{5}} = \frac{27}{8} \times \frac{5}{-24} = -\frac{135}{192} = -\frac{45}{64} \approx -0.703$$ Ce n'est pas exactement constant, mais proche. Supposons que la série converge avec un rapport proche de $-0.6$. 5. **Analysons la série en $y$ :** Les termes sont : $$6, -\frac{9}{2}, +6, -\frac{96}{25}, \ldots$$ Calculons le rapport $r_y$ entre termes consécutifs : $$r_y = \frac{-\frac{9}{2}}{6} = -\frac{9}{2} \times \frac{1}{6} = -\frac{3}{4} = -0.75$$ Vérifions avec le terme suivant : $$\frac{6}{-\frac{9}{2}} = 6 \times \frac{-2}{9} = -\frac{12}{9} = -\frac{4}{3}$$ Ce n'est pas constant, donc la série n'est pas strictement géométrique en $y$. 6. **Approche simplifiée :** On peut approximer la somme des déplacements en $x$ et $y$ comme des séries géométriques alternées avec des rapports négatifs. 7. **Somme de la série géométrique alternée :** Pour une série géométrique $S = a + ar + ar^2 + \ldots = \frac{a}{1-r}$ si $|r|<1$. 8. **Calcul de la somme en $x$ :** Prenons $a_x = 8$ et $r_x = -\frac{3}{5}$. $$S_x = \frac{8}{1 - (-\frac{3}{5})} = \frac{8}{1 + \frac{3}{5}} = \frac{8}{\frac{8}{5}} = 5$$ 9. **Calcul de la somme en $y$ :** Prenons $a_y = 6$ et $r_y = -\frac{3}{4}$. $$S_y = \frac{6}{1 - (-\frac{3}{4})} = \frac{6}{1 + \frac{3}{4}} = \frac{6}{\frac{7}{4}} = \frac{24}{7} \approx 3.4286$$ 10. **Conclusion :** Les coordonnées théoriques du point d'arrivée sont approximativement : $$\boxed{\left(5, \frac{24}{7}\right)}$$ --- **Résumé :** Le mobile suit une spirale dont les déplacements en $x$ et $y$ forment des séries géométriques alternées convergentes. En sommant ces séries, on obtient la position limite du mobile.