1. **Énoncé du problème** : Considérons un mobile qui se déplace selon un trajet en spirale carrée commençant au point $(0,0)$. Les déplacements successifs sont : - Droite de 8 unités, - Haut de 6 unités, - Gauche de $\frac{27}{8}$ unités, - Bas de $\frac{24}{5}$ unités, - Droite de $\frac{384}{125}$ unités, - Haut, gauche, bas avec des distances non précisées, - Puis répétition du motif avec des côtés plus petits. Nous devons déterminer les coordonnées théoriques du point d'arrivée du mobile, c'est-à-dire la limite du point atteint après un nombre infini de déplacements. 2. **Formule et principe** : Le mobile suit une spirale carrée dont les côtés diminuent selon une certaine règle. Chaque déplacement est un vecteur dans une direction (droite, haut, gauche, bas) avec une longueur qui diminue. On peut modéliser la position finale comme la somme d'une série vectorielle : $$\vec{S} = \sum_{n=0}^\infty \vec{v}_n$$ avec $\vec{v}_n$ les vecteurs des déplacements. 3. **Analyse des déplacements donnés** : - 1er déplacement : droite 8 unités $\Rightarrow (8,0)$ - 2e déplacement : haut 6 unités $\Rightarrow (0,6)$ - 3e déplacement : gauche $\frac{27}{8} = 3.375$ unités $\Rightarrow (-3.375,0)$ - 4e déplacement : bas $\frac{24}{5} = 4.8$ unités $\Rightarrow (0,-4.8)$ - 5e déplacement : droite $\frac{384}{125} = 3.072$ unités $\Rightarrow (3.072,0)$ - 6e déplacement : haut (non précisé) - 7e déplacement : gauche (non précisé) - 8e déplacement : bas $\frac{96}{25} = 3.84$ unités $\Rightarrow (0,-3.84)$ On remarque que les longueurs des côtés diminuent et semblent suivre un motif géométrique. 4. **Hypothèse de convergence** : Les déplacements forment une série géométrique alternée en quatre directions : droite, haut, gauche, bas. Posons la première longueur horizontale $a=8$ et verticale $b=6$. Les rapports de réduction sont : - Pour droite : $\frac{27/8}{8} = \frac{27}{64} = 0.421875$ (approximation) - Pour haut : $\frac{24/5}{6} = \frac{24}{30} = 0.8$ - Pour droite suivante : $\frac{384/125}{27/8} = \frac{384}{125} \times \frac{8}{27} = \frac{3072}{3375} \approx 0.91$ - Pour bas : $\frac{96/25}{24/5} = \frac{96}{25} \times \frac{5}{24} = \frac{480}{600} = 0.8$ Ces rapports ne sont pas constants, mais on peut approximer la série comme convergente. 5. **Calcul de la somme des déplacements horizontaux** : Les déplacements horizontaux sont : $$8 - \frac{27}{8} + \frac{384}{125} - ...$$ On peut approximer la somme comme une série géométrique alternée avec un facteur $r$. 6. **Calcul de la somme des déplacements verticaux** : Les déplacements verticaux sont : $$6 - \frac{24}{5} + ... - \frac{96}{25} + ...$$ Même principe, série géométrique alternée. 7. **Formule de la somme d'une série géométrique alternée** : Pour une série $S = a - ar + ar^2 - ar^3 + ...$, la somme est $$S = \frac{a}{1+r}$$ si $|r|<1$. 8. **Application** : Supposons que les rapports de réduction sont constants et égaux à $r_x$ pour l'horizontale et $r_y$ pour la verticale. - Somme horizontale : $$S_x = \frac{8}{1 + r_x}$$ - Somme verticale : $$S_y = \frac{6}{1 + r_y}$$ 9. **Estimation des rapports** : Prenons $r_x \approx \frac{27/8}{8} = 0.421875$ et $r_y \approx \frac{24/5}{6} = 0.8$. 10. **Calcul final** : $$S_x = \frac{8}{1 + 0.421875} = \frac{8}{1.421875} \approx 5.625$$ $$S_y = \frac{6}{1 + 0.8} = \frac{6}{1.8} = 3.333...$$ 11. **Conclusion** : Les coordonnées théoriques du point d'arrivée sont approximativement $$\boxed{(5.625, 3.333)}$$ Cela correspond à la limite du mobile après un nombre infini de déplacements en spirale carrée décroissante.