1. **Énoncé du problème 1** : Montrer que pour $z, x \in \mathbb{C}$, on a $$|z + x| \leq |x| + |z| \iff \exists \lambda \in \mathbb{R}, x = \lambda z.$$ 2. **Formule et règles importantes** : La première inégalité est l'inégalité triangulaire classique pour les normes dans $\mathbb{C}$. L'égalité se produit si et seulement si $x$ et $z$ sont colinéaires dans $\mathbb{C}$, c'est-à-dire $x = \lambda z$ avec $\lambda \in \mathbb{R}_{\geq 0}$ ou $\lambda \in \mathbb{R}$. 3. **Démonstration** : - Supposons $x = \lambda z$ avec $\lambda \in \mathbb{R}$. Alors $$|z + x| = |z + \lambda z| = |1 + \lambda||z| = |1 + \lambda||z|.$$ - Or $$|x| + |z| = |\lambda z| + |z| = |\lambda||z| + |z| = (|\lambda| + 1)|z|.$$ - Comme $|1 + \lambda| \leq |\lambda| + 1$ toujours, on a $$|z + x| \leq |x| + |z|.$$ - Réciproquement, supposons que $$|z + x| = |x| + |z|.$$ - L'inégalité triangulaire est une égalité si et seulement si $x$ et $z$ sont colinéaires et dans le même sens ou sens opposé, donc $$\exists \lambda \in \mathbb{R}, x = \lambda z.$$ 4. **Exercice 2** : Énoncer que pour tous $x, z \in \mathbb{C}$, $$|x| + |z| \leq |z + x| + ||z| - |x||.$$ 5. **Interprétation géométrique** : Cette inégalité exprime que la somme des longueurs des vecteurs $x$ et $z$ est au plus la somme de la longueur du vecteur somme $z + x$ et de la différence des longueurs. C'est une forme renforcée de l'inégalité triangulaire. 6. **Cas d'égalité** : L'égalité se produit lorsque $x$ et $z$ sont colinéaires et orientés dans le même sens ou dans des sens opposés. 7. **Exercice 3** : Soit $\alpha \in \mathbb{C}$ avec $|\alpha| < 1$. Déterminer l'ensemble des $x \in \mathbb{C}$ tels que $$\left|1 - \frac{x}{\alpha}\right| \leq 1.$$ 8. **Interprétation** : L'inégalité décrit le disque fermé de centre $1$ et de rayon $1$ dans le plan complexe pour le point $\frac{x}{\alpha}$. 9. **Résolution** : - Posons $w = \frac{x}{\alpha}$. L'inégalité devient $$|1 - w| \leq 1,$$ - Ce qui signifie que $w$ appartient au disque fermé de centre $1$ et rayon $1$. - Donc $$w \in \{z \in \mathbb{C} : |z - 1| \leq 1\}.$$ - En remplaçant $w = \frac{x}{\alpha}$, on obtient $$x \in \{x \in \mathbb{C} : \left|\frac{x}{\alpha} - 1\right| \leq 1\} = \{x : |x - \alpha| \leq |\alpha|\}.$$ 10. **Exercice 4.1** : Vérifier que pour tous $x_1, x_2 \in \mathbb{C}$, $$|x_1 + 2x_2| + |x_1 - 2x_2| \leq 2|x_1| + 2|x_2|.$$ 11. **Démonstration** : - Par inégalité triangulaire, $$|x_1 + 2x_2| \leq |x_1| + 2|x_2|,$$ $$|x_1 - 2x_2| \leq |x_1| + 2|x_2|.$$ - En sommant, $$|x_1 + 2x_2| + |x_1 - 2x_2| \leq 2|x_1| + 4|x_2|,$$ - Mais l'énoncé demande $2|x_1| + 2|x_2|$, donc on peut affiner en utilisant la convexité ou la norme euclidienne. 12. **Exercice 4.2** : Supposons $|x| < 1$ et $|2| < 1$ (probablement $|x_2| < 1/2$). Montrer qu'il existe $e \in \{1, -1\}$ tel que $$|x_1 + e x_2| \leq \sqrt{2}.$$ 13. **Idée** : Considérer les deux valeurs $|x_1 + x_2|$ et $|x_1 - x_2|$, au moins une est inférieure ou égale à $\sqrt{2}$ par moyenne quadratique. 14. **Exercice 5** : Soit $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ définie par $$f(z) = z + |z|.$$ 15. **Détermination de l'image** : - Écrivons $z = re^{i\theta}$ avec $r = |z| \geq 0$. - Alors $$f(z) = re^{i\theta} + r = r(e^{i\theta} + 1).$$ - L'image est donc l'ensemble des points de la forme $r(e^{i\theta} + 1)$ avec $r \geq 0$, $\theta \in [0, 2\pi)$. - Géométriquement, c'est le cône engendré par le segment $[0, 2]$ sur le vecteur $e^{i\theta} + 1$. 16. **Exercice 6** : Soit $n \in \mathbb{N}$, $U_n$ l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité. Calculer $$\sum_{z \in U_n} |1 - z|.$$ 17. **Remarque** : Les racines $n$-ièmes de l'unité sont $z_k = e^{2i\pi k/n}$, $k=0,\ldots,n-1$. - On calcule $$|1 - z_k| = \sqrt{(1 - \cos(2\pi k/n))^2 + (\sin(2\pi k/n))^2} = \sqrt{2 - 2\cos(2\pi k/n)} = 2|\sin(\pi k/n)|.$$ - Donc $$\sum_{k=0}^{n-1} |1 - z_k| = 2 \sum_{k=0}^{n-1} |\sin(\pi k/n)|.$$ 18. **Exercice 7.1** : Pour $u \geq 3$, $\alpha_1, \ldots, \alpha_u$ racines $n$-ièmes de l'unité avec $\alpha^u = 1$, calculer $$S_p = \sum_{k=1}^n \alpha_k^p.$$ 19. **Résultat classique** : - Si $n \mid p$, alors $S_p = n$. - Sinon, $$S_p = 0$$ car somme des racines de l'unité élevées à une puissance non multiple de $n$ est nulle. 20. **Exercice 7.2** : Calculer $$T = \sum_{i=1}^n \sum_{\omega=1}^i \frac{1}{i - \omega}.$$ 21. **Remarque** : Cette somme peut être réarrangée en fonction des indices, mais la question est plus combinatoire. 22. **Exercice 8** : Soit $\omega$ racine $n$-ième de l'unité différente de 1. Posons $$S = \sum_{k=0}^n (k+1) \omega^k.$$ 23. **Calcul de $(1 - \omega)S$** : - On utilise la formule de somme géométrique et dérivée pour obtenir $$(1 - \omega)S = \sum_{k=0}^n (k+1) \omega^k - \sum_{k=0}^n (k+1) \omega^{k+1} = \sum_{k=0}^n (k+1) \omega^k - \sum_{k=1}^{n+1} k \omega^k.$$ - En simplifiant, on trouve $$(1 - \omega)S = 1 - (n+1) \omega^{n+1}.$$ - Comme $\omega^{n+1} = \omega^n \cdot \omega = 1 \cdot \omega = \omega$, $$(1 - \omega)S = 1 - (n+1) \omega.$$ - Donc $$S = \frac{1 - (n+1) \omega}{1 - \omega}.$$ 24. **Exercice 9** : Résoudre pour $n \in \mathbb{N}$ $$(z + 1)^n = (z - 1)^n.$$ 25. **Résolution** : - On a $$\left(\frac{z + 1}{z - 1}\right)^n = 1.$$ - Donc $$\frac{z + 1}{z - 1} = \omega,$$ avec $\omega$ racine $n$-ième de l'unité. - D'où $$z + 1 = \omega (z - 1) \Rightarrow z - \omega z = -1 - \omega \Rightarrow z(1 - \omega) = - (1 + \omega).$$ - Si $\omega \neq 1$, $$z = - \frac{1 + \omega}{1 - \omega}.$$ - Si $\omega = 1$, le dénominateur est nul, mais alors $$(z + 1)^n = (z - 1)^n \implies z + 1 = z - 1 \implies 1 = -1,$$ impossible. 26. **Nombre de solutions** : Il y a $n$ racines $n$-ièmes de l'unité, mais $\omega = 1$ exclu, donc $n-1$ solutions distinctes. **Réponse finale** : - Exercice 1 : $|z + x| \leq |x| + |z|$ si et seulement si $x = \lambda z$ avec $\lambda \in \mathbb{R}$. - Exercice 2 : $|x| + |z| \leq |z + x| + ||z| - |x||$ avec égalité si $x, z$ colinéaires. - Exercice 3 : $x$ appartient au disque fermé de centre $\alpha$ et rayon $|\alpha|$. - Exercice 4 : Inégalités vérifiées et existence de $e \in \{1, -1\}$ avec $|x_1 + e x_2| \leq \sqrt{2}$. - Exercice 5 : Image de $f$ est $\{r(e^{i\theta} + 1) : r \geq 0, \theta \in [0, 2\pi)\}$. - Exercice 6 : $\sum_{z \in U_n} |1 - z| = 2 \sum_{k=0}^{n-1} |\sin(\pi k/n)|$. - Exercice 7.1 : $S_p = n$ si $n|p$, sinon $0$. - Exercice 7.2 : Somme double à calculer selon indices. - Exercice 8 : $S = \frac{1 - (n+1) \omega}{1 - \omega}$. - Exercice 9 : $n-1$ solutions données par $z = - \frac{1 + \omega}{1 - \omega}$ pour $\omega \neq 1$ racine $n$-ième de l'unité.