1. Stwierdzenie problemu: Znajdź punkty przegięcia i przedziały wklęsłości funkcji $$f(x) = \ln(4 - x^2)$$. 2. Wzory i zasady: Punkty przegięcia występują tam, gdzie druga pochodna zmienia znak, a przedziały wklęsłości to przedziały, na których druga pochodna jest dodatnia (wklęsłość do góry) lub ujemna (wklęsłość do dołu). 3. Obliczamy pierwszą pochodną funkcji: $$f'(x) = \frac{d}{dx} \ln(4 - x^2) = \frac{-2x}{4 - x^2}$$ 4. Obliczamy drugą pochodną funkcji, stosując wzór na pochodną ilorazu lub regułę łańcuchową: $$f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{-2x}{4 - x^2} \right) = \frac{(-2)(4 - x^2) - (-2x)(-2x)}{(4 - x^2)^2} = \frac{-8 + 2x^2 - 4x^2}{(4 - x^2)^2} = \frac{-8 - 2x^2}{(4 - x^2)^2}$$ 5. Upraszczamy drugą pochodną: $$f''(x) = \frac{-2(x^2 + 4)}{(4 - x^2)^2}$$ 6. Analiza znaku drugiej pochodnej: - Licznik: $$-2(x^2 + 4)$$ jest zawsze ujemny, ponieważ $$x^2 + 4 > 0$$ dla każdego $$x$$. - Mianownik: $$(4 - x^2)^2$$ jest zawsze dodatni dla $$x \in (-2, 2)$$, gdzie funkcja jest określona. 7. Wniosek: Druga pochodna jest zawsze ujemna na dziedzinie funkcji, więc funkcja jest wklęsła na całym przedziale $$(-2, 2)$$. 8. Punkty przegięcia występują, gdy $$f''(x) = 0$$ lub zmienia znak. Ponieważ $$f''(x) \neq 0$$ i nie zmienia znaku na dziedzinie, funkcja nie ma punktów przegięcia. Ostateczna odpowiedź: - Funkcja jest wklęsła na przedziale $$(-2, 2)$$. - Funkcja nie ma punktów przegięcia.