1. Stwierdzenie problemu: Mamy ciąg $a_n = \frac{3n - 2}{n + 4}$ i chcemy zbadać jego monotoniczność oraz wyznaczyć granicę tego ciągu. 2. Wzór ciągu: $$a_n = \frac{3n - 2}{n + 4}$$ 3. Badanie monotoniczności: Sprawdzimy znak różnicy $a_{n+1} - a_n$. $$a_{n+1} = \frac{3(n+1) - 2}{(n+1) + 4} = \frac{3n + 3 - 2}{n + 5} = \frac{3n + 1}{n + 5}$$ Różnica: $$a_{n+1} - a_n = \frac{3n + 1}{n + 5} - \frac{3n - 2}{n + 4} = \frac{(3n + 1)(n + 4) - (3n - 2)(n + 5)}{(n + 5)(n + 4)}$$ Rozwijamy licznik: $$(3n + 1)(n + 4) = 3n^2 + 12n + n + 4 = 3n^2 + 13n + 4$$ $$(3n - 2)(n + 5) = 3n^2 + 15n - 2n - 10 = 3n^2 + 13n - 10$$ Zatem: $$\text{licznik} = (3n^2 + 13n + 4) - (3n^2 + 13n - 10) = 4 + 10 = 14$$ Ponieważ mianownik $(n + 5)(n + 4) > 0$ dla $n \geq 1$, to: $$a_{n+1} - a_n = \frac{14}{(n + 5)(n + 4)} > 0$$ 4. Wniosek: Różnica jest dodatnia dla każdego $n$, więc ciąg jest rosnący. 5. Wyznaczenie granicy ciągu: $$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{3n - 2}{n + 4}$$ Dzielimy licznik i mianownik przez $n$: $$= \lim_{n \to \infty} \frac{3 - \frac{2}{n}}{1 + \frac{4}{n}} = \frac{3 - 0}{1 + 0} = 3$$ 6. Ostateczna odpowiedź: Ciąg $a_n$ jest rosnący i ma granicę równą 3.