1. **Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym:** (a) $a_n = \frac{5n^4 - 12n^3 + 13n + 5}{6n^3 - 2n^2 + 3}$ - Najważniejsza zasada: przy granicy $n \to \infty$ liczy się najwyższa potęga $n$ w liczniku i mianowniku. - Licznik ma najwyższą potęgę $n^4$, mianownik $n^3$. - Dzielimy licznik i mianownik przez $n^3$: $$a_n = \frac{5n^4/n^3 - 12n^3/n^3 + 13n/n^3 + 5/n^3}{6n^3/n^3 - 2n^2/n^3 + 3/n^3} = \frac{5n - 12 + \frac{13}{n^2} + \frac{5}{n^3}}{6 - \frac{2}{n} + \frac{3}{n^3}}$$ - Gdy $n \to \infty$, wyrażenia z $\frac{1}{n^k} \to 0$: $$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{5n - 12 + 0 + 0}{6 - 0 + 0} = \lim_{n \to \infty} \frac{5n - 12}{6} = \infty$$ (b) $c_n = n\sqrt{2^n + 4^n} + 8^n$ - Największy wzrost ma $8^n$ (bo $8^n > 4^n > 2^n$). - Wewnątrz pierwiastka $\sqrt{2^n + 4^n} \approx \sqrt{4^n} = 2^n$ dla dużych $n$. - Zatem $n\sqrt{2^n + 4^n} \approx n 2^n$. - Porównując $n 2^n$ i $8^n$, $8^n$ rośnie szybciej. - Granica jest zdominowana przez $8^n$, więc: $$\lim_{n \to \infty} c_n = \infty$$ (c) $n\sqrt{(\frac{1}{3})^n + (\frac{1}{4})^n}$ - Największy składnik pod pierwiastkiem to $(\frac{1}{3})^n$ (bo $\frac{1}{3} > \frac{1}{4}$). - Zatem: $$n\sqrt{(\frac{1}{3})^n + (\frac{1}{4})^n} \approx n (\frac{1}{3})^{n/ n} = n \cdot \frac{1}{3} = \frac{n}{3}$$ - Ale to jest błąd, bo $n$-ty pierwiastek z $(\frac{1}{3})^n$ to: $$\sqrt[n]{(\frac{1}{3})^n} = \frac{1}{3}$$ - Zatem: $$n \cdot \sqrt[n]{(\frac{1}{3})^n + (\frac{1}{4})^n} \to n \cdot \frac{1}{3} = \frac{n}{3}$$ - Gdy $n \to \infty$, granica dąży do $\infty$. (d) $d_n = \frac{2^{n+1} - 3^{n+2}}{3^{n+2}}$ - Dzielimy licznik i mianownik przez $3^{n+2}$: $$d_n = \frac{2^{n+1}}{3^{n+2}} - 1 = \frac{2^{n+1}}{3^{n+2}} - 1$$ - Wyrażenie $\frac{2^{n+1}}{3^{n+2}} = \left(\frac{2}{3}\right)^{n+1} \cdot \frac{1}{3}$, które dąży do 0. - Zatem: $$\lim_{n \to \infty} d_n = 0 - 1 = -1$$ (e) $u_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{4n}$ - To jest postać zbliżona do definicji liczby $e$: $$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$$ - Zatem: $$\lim_{n \to \infty} u_n = e^4$$ (f) $u_n = \left(\frac{n-1}{n}\right)^n = \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n$ - Znany wzór: $$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n = e^{-1}$$ 2. **Oblicz granice funkcji:** (a) $\lim_{x \to \infty} (3x^3 - 2x - 6x^5 + 3)$ - Najwyższa potęga to $x^5$ z ujemnym współczynnikiem. - Dla dużych $x$ dominują $-6x^5$, więc granica to $-\infty$. (b) $\lim_{x \to \infty} \frac{12x^3 + 4x^2 - 6x + 2}{4x^3 - 2x + 4}$ - Dzielimy licznik i mianownik przez $x^3$: $$\frac{12 + \frac{4}{x} - \frac{6}{x^2} + \frac{2}{x^3}}{4 - \frac{2}{x^2} + \frac{4}{x^3}}$$ - Gdy $x \to \infty$, wyrażenia z $\frac{1}{x^k} \to 0$: $$\frac{12}{4} = 3$$ (c) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x+1} - \sqrt{x})$ - Używamy sprzężenia: $$\sqrt{x+1} - \sqrt{x} = \frac{(\sqrt{x+1} - \sqrt{x})(\sqrt{x+1} + \sqrt{x})}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}} = \frac{(x+1) - x}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}$$ - Gdy $x \to \infty$, mianownik rośnie do $\infty$, więc granica to 0. (d) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}$ - Sinus jest ograniczony między -1 a 1. - Mianownik rośnie do $\infty$. - Zatem granica to 0. (e) $\lim_{x \to \infty} e^{-x}$ - $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$, a $e^x \to \infty$. - Granica to 0. (f) $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ - Licznik to $x^2 - 3^2 = (x-3)(x+3)$. - Skracamy: $$\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x + 3$$ - Podstawiamy $x=3$: $$3 + 3 = 6$$ (h) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{5x}$ - Dla małych $x$, $\tan x \approx x$. - Zatem: $$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{5x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{5x} = \frac{1}{5}$$