1. **Zadanie 3: Badanie ciągłości funkcji** Dana jest funkcja: $$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{dla } x \geq 2 \\ x - 2 & \text{dla } x < 2 \end{cases}$$ Chcemy zbadać ciągłość w punkcie $x=2$, ponieważ tam zmienia się wzór funkcji. **Kroki:** 1. Obliczamy wartość funkcji w punkcie $x=2$: $$f(2) = 2^2 = 4$$ 2. Obliczamy granicę lewostronną (gdy $x \to 2^-$): $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x - 2) = 2 - 2 = 0$$ 3. Obliczamy granicę prawostronną (gdy $x \to 2^+$): $$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} x^2 = 4$$ 4. Ponieważ granica lewostronna $0 \neq 4$ granicy prawostronnej, funkcja nie jest ciągła w punkcie $x=2$. 2. **Zadanie 4: Wyznaczanie asymptot funkcji** Dana funkcja: $$y = \frac{x^3}{x^2 - x - 2}$$ **Kroki:** 1. Rozkładamy mianownik: $$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$$ 2. Asymptoty pionowe to miejsca zerowe mianownika, gdzie funkcja nie jest określona: $$x = 2, \quad x = -1$$ 3. Asymptota ukośna (ponieważ stopień licznika jest o 1 większy niż mianownika): Wykonujemy dzielenie wielomianów: $$\frac{x^3}{x^2 - x - 2} = x + 1 + \frac{3x + 2}{x^2 - x - 2}$$ Asymptota ukośna to: $$y = x + 1$$ 4. Asymptoty poziome nie występują, bo stopień licznika jest większy niż mianownika. 3. **Zadanie 5: Obliczanie pochodnych funkcji** (a) $$y = x^8 - 4x^4 + 13x^3 - x + 9$$ $$y' = 8x^7 - 16x^3 + 39x^2 - 1$$ (b) $$y = \sqrt[3]{x^2} \cdot \sqrt[3]{x^4} = x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{4}{3}} = x^{2}$$ $$y' = 2x$$ (c) $$y = x^3 \cdot \cos(4x)$$ Używamy reguły iloczynu: $$y' = 3x^2 \cos(4x) + x^3 (-\sin(4x)) \cdot 4 = 3x^2 \cos(4x) - 4x^3 \sin(4x)$$ (d) $$y = \frac{2 - x^2}{2x^3 + x + 5}$$ Używamy reguły ilorazu: $$y' = \frac{( -2x)(2x^3 + x + 5) - (2 - x^2)(6x^2 + 1)}{(2x^3 + x + 5)^2}$$ (e) $$y = \sqrt{3x^2 - 5x + 8} = (3x^2 - 5x + 8)^{1/2}$$ $$y' = \frac{1}{2}(3x^2 - 5x + 8)^{-1/2} \cdot (6x - 5) = \frac{6x - 5}{2\sqrt{3x^2 - 5x + 8}}$$ (f) $$y = (\tan 3x)^5$$ Używamy reguły łańcuchowej: $$y' = 5(\tan 3x)^4 \cdot \sec^2(3x) \cdot 3 = 15 (\tan 3x)^4 \sec^2(3x)$$ (g) $$y = e^{5x^3 - 3x + 1}$$ $$y' = e^{5x^3 - 3x + 1} \cdot (15x^2 - 3)$$ (h) $$y = 5^x \cdot \ln x$$ Używamy reguły iloczynu i wzoru na pochodną $a^x$: $$y' = 5^x \ln 5 \cdot \ln x + 5^x \cdot \frac{1}{x} = 5^x \left( \ln 5 \cdot \ln x + \frac{1}{x} \right)$$ **Odpowiedzi:** - Zad. 3: Funkcja nie jest ciągła w $x=2$. - Zad. 4: Asymptoty pionowe: $x=2$, $x=-1$; asymptota ukośna: $y=x+1$. - Zad. 5: Pochodne podane powyżej.