1. Problema 9: Determinarea mulțimii de valori a funcției $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \sqrt{x^2 + 4}$.\n\n2. Formula folosită este funcția radical cu argumentul $x^2 + 4$. Observăm că $x^2 \geq 0$ pentru orice $x \in \mathbb{R}$, deci $x^2 + 4 \geq 4$.\n\n3. Astfel, expresia sub radical este întotdeauna mai mare sau egală cu 4, deci $f(x) = \sqrt{x^2 + 4} \geq \sqrt{4} = 2$.\n\n4. Mulțimea valorilor funcției este deci $[2, +\infty)$.\n\n5. Problema 10a: Determinarea intervalelor pe care funcția $f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = x \ln x$ este monoton descrescătoare.\n\n6. Derivăm funcția: $f'(x) = \ln x + 1$ (folosind regula produsului și derivata logaritmului).\n\n7. Funcția este monoton descrescătoare când $f'(x) < 0$, adică $\ln x + 1 < 0 \Rightarrow \ln x < -1 \Rightarrow x < e^{-1} = \frac{1}{e}$.\n\n8. Deoarece domeniul este $(0, +\infty)$, funcția este monoton descrescătoare pe intervalul $(0, \frac{1}{e})$.\n\n9. Problema 10b: Comparați $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - x}{x^2 + x - 2}$ și $f(\frac{1}{2})$.\n\n10. Calculăm limita:\n\n$$\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - x}{x^2 + x - 2} = \lim_{x \to 1} \frac{x(x^2 - 1)}{(x - 1)(x + 2)} = \lim_{x \to 1} \frac{x(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)(x + 2)}.$$\n\n11. Simplificăm factorul comun $(x - 1)$:\n\n$$= \lim_{x \to 1} \frac{x(x + 1)}{x + 2} = \frac{1 \cdot 2}{3} = \frac{2}{3}.$$\n\n12. Calculăm $f(\frac{1}{2})$:\n\n$$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \ln \frac{1}{2} = \frac{1}{2} (-\ln 2) = -\frac{\ln 2}{2} \approx -0.3466.$$\n\n13. Comparând cele două valori: $\frac{2}{3} \approx 0.6667$ este mai mare decât $-0.3466$.\n\nRăspunsuri:\n- Problema 9: Mulțimea valorilor este $[2, +\infty)$.\n- Problema 10a: Funcția este monoton descrescătoare pe $(0, \frac{1}{e})$.\n- Problema 10b: Limita este $\frac{2}{3}$, iar $f(\frac{1}{2}) \approx -0.3466$, deci $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - x}{x^2 + x - 2} > f(\frac{1}{2})$.