1. Stwierdzenie problemu: Wielomiany to wyrażenia algebraiczne złożone z sumy jednomianów, gdzie każdy jednomian ma postać $ax^n$, gdzie $a$ to współczynnik, a $n$ to wykładnik naturalny. 2. Definicja wielomianu: Wielomian stopnia $n$ ma postać $$P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0,$$ gdzie $a_n \neq 0$. 3. Podstawowe działania na wielomianach: - Dodawanie i odejmowanie: sumujemy lub odejmujemy współczynniki przy tych samych potęgach $x$. - Mnożenie: stosujemy rozdzielność mnożenia względem dodawania i mnożymy każdy jednomian z pierwszego wielomianu przez każdy z drugiego. - Dzielenie: dzielimy wielomiany podobnie jak liczby, stosując dzielenie syntetyczne lub pisemne. 4. Przykład dodawania: $$ (3x^2 + 2x + 1) + (x^2 - 4x + 5) = (3x^2 + x^2) + (2x - 4x) + (1 + 5) = 4x^2 - 2x + 6.$$ 5. Przykład mnożenia: $$ (x + 2)(x^2 - x + 3) = x(x^2 - x + 3) + 2(x^2 - x + 3) = x^3 - x^2 + 3x + 2x^2 - 2x + 6 = x^3 + ( -1x^2 + 2x^2) + (3x - 2x) + 6 = x^3 + x^2 + x + 6.$$ 6. Reguła Hornera: ułatwia obliczanie wartości wielomianu w danym punkcie oraz dzielenie przez dwumian postaci $(x - c)$. 7. Rozkład na czynniki: szukamy pierwiastków wielomianu (np. metodą prób lub wzorów) i dzielimy wielomian przez dwumiany $(x - r)$, gdzie $r$ jest pierwiastkiem. 8. Przykład rozkładu: $$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$$ ponieważ $2$ i $3$ są pierwiastkami. 9. Wzory skróconego mnożenia: - $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ - $(a \, \pm \, b)^2 = a^2 \, \pm \, 2ab \, + \, b^2$ - $a^3 \, \pm \, b^3 = (a \, \pm \, b)(a^2 \, \mp \, ab \, + \, b^2)$ 10. Przykład zastosowania wzoru: $$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3).$$ Podsumowując, na sprawdzianie z wielomianów powinieneś znać definicję, działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie), rozkład na czynniki, wzory skróconego mnożenia oraz umieć stosować regułę Hornera i rozwiązywać zadania z przykładami jak powyżej.