1. Uzdevums: Atrisināt vienādojumus. 2. a) Atrisināsim vienādojumu $$\frac{4}{x} = 5 - x^2$$, izmantojot grafiku. - Pārrakstīsim labās puses funkciju kā $$y_1 = 5 - x^2$$. - Kreisajai pusei definēsim $$y_2 = \frac{4}{x}$$. - Atrisinājumi ir to funkciju krustpunkti, kur $$y_1 = y_2$$. - Zīmējot abas funkcijas, krustpunkti dod aptuvenās saknes. 3. b) Atrisināsim vienādojumu $$ (x^2 + 3x)^2 - 2(x^2 + 3x) = 8 $$, izmantojot substitūciju. - Izveidosim jaunu mainīgo $$t = x^2 + 3x$$. - Tad vienādojums kļūst $$t^2 - 2t = 8$$. - Pārrakstām kā $$t^2 - 2t - 8 = 0$$. - Šis ir kvadrātvienādojums, kas risināms ar diskriminanta formulu: $$\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$$ $$t = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}$$ - Tātad $$t_1 = 4$$ un $$t_2 = -2$$. - Atjaunojam mainīgo: a) $$x^2 + 3x = 4$$ un b) $$x^2 + 3x = -2$$. - Risinām katru kvadrātvienādojumu: a) $$x^2 + 3x - 4 = 0$$. Diskriminants: $$\Delta = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$. Saknes: $$x = \frac{-3 \pm 5}{2}$$, tātad $$x = 1$$ vai $$x = -4$$. b) $$x^2 + 3x + 2 = 0$$. Diskriminants: $$\Delta = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$$. Saknes: $$x = \frac{-3 \pm 1}{2}$$, tātad $$x = -1$$ vai $$x = -2$$. - Galvenie atrisinājumi ir $$x = \{-4, -2, -1, 1\}$$. 4. c) Atrisināsim kubveida vienādojumu $$x^3 - 4x + 3x^2 - 12 = 0$$, izmantojot nulles reizinājuma likumu. - Pārrakstām un grupējam: $$x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = 0$$ - Atrodam kopējāko faktoru pēc grupām: $$(x^3 + 3x^2) - (4x + 12) = x^2(x + 3) - 4(x + 3) = (x + 3)(x^2 - 4) = 0$$ - Izmantojot reizinājuma nulles likumu, saknes ir, ja kāds faktors ir 0: $$x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$$ $$x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2$$ - Tātad atrisinājumi ir $$x = \{-3, -2, 2\}$$. 5. Kopsavilkums: - a) Atrisinājuma vērtības grafikā ir krustpunkti starp $$y = \frac{4}{x}$$ un $$y = 5 - x^2$$. - b) $$x = -4, -2, -1, 1$$. - c) $$x = -3, -2, 2$$. Galīgās atbildes: a) Risinājums grafikā apmēram pie $$x \approx 0.8$$ un $$x \approx 2.7$$. b) $$\{ -4, -2, -1, 1 \}$$. c) $$\{ -3, -2, 2 \}$$.