1. مسئله: تابع‌ها به صورت زیر داده شده‌اند: $$f(x) = |x+1|$$ $$g(x) = |ax + 1|$$ $$h(x) = bx + 1$$ مطلوب است تعداد مقادیر صحیح ممکن برای جمع $a+b$ با شرط $a \neq 0$. 2. تحلیل مسئله: تابع $f(x)$ یک تابع قدرمطلق با نوک در نقطه $x = -1$ است. تابع $g(x)$ نیز مشابه است اما با ضریب $a$ برای $x$. تابع $h(x)$ خطی است. برای تعداد مقادیر صحیح جمع $a+b$، باید روابط بین این توابع بررسی شود. 3. بررسی شرایط: تابع $g(x) = |ax + 1|$ بسته به علامت داخل قدرمطلق تکه‌ای است: اگر $ax + 1 \geq 0$، آنگاه $g(x) = ax + 1$ اگر $ax + 1 < 0$، آنگاه $g(x) = -(ax + 1) = -ax -1$ 4. شرط تساوی توابع: اگر در نظر بگیریم که $g(x) = h(x)$ جایی که تابع $g(x)$ در بخش مثبت است، یعنی: $$ax + 1 = bx + 1 \Rightarrow a = b$$ و در بخش منفی: $$-ax -1 = bx + 1 \Rightarrow (b + a) x = -2$$ این معادله باید برای همه $x$ درست باشد که فقط وقتی درست است که ضریب جلوی $x$ صفر شود، یعنی: $$b + a = 0$$ اما با توجه به معادله بالا باید همچنین $-2 = 0$ که همواره نادرست است. 5. نکته مهم: تابع قدرمطلق $g(x)$ وقتی روی یک بازه از $x$ برابر با تابع خطی $h(x)$ باشد، باید در بازه‌های مختلف بررسی شود. 6. جواب: با توجه به اینکه $a \neq 0$ و تابع $g(x)$ تعریف شده است، و $h(x) = bx + 1$ اگر فرض کنیم که دو تابع برابر باشند روی بازه ای، پس داریم: ایجاد عدم تناقض برای $a$ و $b$ به گونه‌ای که $b = a$ و در بخشی دیگر $b = -a$ ممکن نیست مگر اینکه $a=0$ که خلاف شرط است. بنابراین $a + b$ می‌تواند فقط دو مقدار صحیح داشته باشد: - اگر $b = a$, آنگاه $a + b = 2a$ - اگر $b = -a$, آنگاه $a + b = 0$ اما $a=0$ نیست، پس فقط مقادیر $a+b = 2a$ که عدد صحیح است و $a$ عدد صحیح است (با فرض) می‌تواند باشد. 7. پس تعداد مقادیر صحیحی که $a+b$ می‌تواند داشته باشد به مقدار صحیح $a$ بستگی دارد. اگر محرک‌ها محدودیت دیگری ندارند، $a+b$ می‌تواند هر عدد صحیح زوج غیر صفر باشد. خلاصه: $$a + b \in \{ ..., -4, -2, 2, 4, ... \}$$ و تعداد مقادیر صحیح ممکن برای $a+b$ بی‌نهایت است اما فقط زوج‌های غیر صفر.