1. **הבעיה:** נתונה הפונקציה $$f(x) = x^3 + 6x^2 + 9x$$. יש לקבוע עבור אילו ערכים של $$k$$ המשוואה $$f(x) = k$$ יש שני פתרונות. 2. **הבנת הבעיה:** המשוואה $$f(x) = k$$ שווה למציאת נקודות החיתוך של הפונקציה עם הקו האופקי $$y = k$$. מספר הפתרונות הוא מספר נקודות החיתוך. 3. **מציאת נקודות קיצון:** כדי להבין מתי יש שני פתרונות, נבדוק את נקודות הקיצון של הפונקציה. נגזור את הפונקציה: $$f'(x) = 3x^2 + 12x + 9 = 3(x^2 + 4x + 3) = 3(x+1)(x+3)$$ 4. **נקודות קיצון הן ב-$$x = -1$$ ו-$$x = -3$$. נחשב את ערכי הפונקציה בנקודות אלו:** $$f(-1) = (-1)^3 + 6(-1)^2 + 9(-1) = -1 + 6 - 9 = -4$$ $$f(-3) = (-3)^3 + 6(-3)^2 + 9(-3) = -27 + 54 - 27 = 0$$ 5. **ניתוח:** הפונקציה יורדת עד ל-$$x=-3$$, שם יש לה מינימום מקומי ב-$$f(-3)=0$$, ואז עולה עד ל-$$x=-1$$, שם יש לה מקסימום מקומי ב-$$f(-1)=-4$$, ואז שוב יורדת. 6. **מסקנה לגבי מספר הפתרונות של $$f(x) = k$$:** - אם $$k$$ בין $$-4$$ ל-$$0$$ (כלומר $$-4 < k < 0$$), יש שני פתרונות כי הקו האופקי חותך את הפונקציה פעמיים בין נקודות הקיצון. - אם $$k = -4$$ או $$k = 0$$, יש פתרון כפול (נקודת קיצון), כלומר פתרון יחיד עם נגע. - אם $$k > 0$$ או $$k < -4$$, יש פתרון יחיד. 7. **תשובה לשאלה:** עבור אילו ערכים של $$k$$ יש שני פתרונות? התשובה היא: $$-4 < k < 0$$. 8. **בדיקה של אפשרויות:** - לכל $$k$$ - לא נכון, כי לא לכל ערך יש שני פתרונות. - $$-4 < k < 0$$ - נכון. - $$k=1$$ - לא נכון, יש פתרון יחיד. - $$k = -4$$ או $$k=0$$ - יש פתרון כפול, לא שני פתרונות שונים. **לכן התשובה הנכונה היא:** $$-4 < k < 0$$.