1. Masalah: Diberikan fungsi kuadrat asli $y = f(x) = x^2$ yang ditranslasi oleh vektor translasi $T = \begin{pmatrix}0 \\ -b\end{pmatrix}$ sehingga diperoleh fungsi bayangan $f'(x) = x^2 + 6x + 9$. Tentukan nilai $b$. 2. Formula dan aturan penting: - Translasi fungsi $f(x)$ oleh vektor $T = \begin{pmatrix}h \\ k\end{pmatrix}$ menghasilkan fungsi baru $f'(x) = f(x - h) + k$. - Dalam soal ini, $h = 0$ dan $k = -b$, sehingga $f'(x) = f(x) - b = x^2 - b$. 3. Namun, fungsi bayangan yang diberikan adalah $f'(x) = x^2 + 6x + 9$. 4. Kita perhatikan bahwa $x^2 + 6x + 9$ dapat difaktorkan: $$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$$ 5. Ini menunjukkan fungsi bayangan adalah hasil translasi horizontal dan vertikal dari fungsi asli $x^2$. 6. Karena translasi horizontal $h=0$, maka fungsi bayangan harus berupa $f'(x) = f(x) - b = x^2 - b$. 7. Namun, fungsi bayangan yang diberikan adalah $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$, yang setara dengan translasi horizontal $h = -3$ dan vertikal $k=0$. 8. Jadi, ada ketidaksesuaian jika hanya translasi vertikal $-b$ yang diberikan. 9. Jika kita asumsikan translasi vektor $T = \begin{pmatrix}0 \\ -b\end{pmatrix}$ diterapkan setelah translasi horizontal $x \to x + 3$, maka: $$f'(x) = f(x + 3) - b = (x + 3)^2 - b = x^2 + 6x + 9 - b$$ 10. Diketahui $f'(x) = x^2 + 6x + 9$, maka: $$x^2 + 6x + 9 - b = x^2 + 6x + 9$$ 11. Dengan menyamakan kedua sisi, diperoleh: $$-b = 0 \implies b = 0$$ 12. Jadi, nilai $b$ adalah 0. Kesimpulan: Nilai $b$ yang memenuhi adalah $\boxed{0}$.