1. Masalah: Diberikan fungsi kuadrat asli $y = f(x) = x^2$ yang ditranslasi oleh vektor $T = \binom{0}{-b}$ sehingga diperoleh fungsi bayangan $f'(x) = x^2 + 6x + 9$. Tentukan nilai $b$. 2. Formula dan aturan penting: - Translasi vektor $T = \binom{0}{-b}$ berarti grafik fungsi bergeser ke bawah sejauh $b$ satuan. - Fungsi bayangan setelah translasi vertikal ke bawah adalah $f'(x) = f(x) - b$. 3. Langkah penyelesaian: - Fungsi asli: $f(x) = x^2$. - Fungsi bayangan: $f'(x) = x^2 + 6x + 9$. - Kita tahu $f'(x) = f(x) - b$, jadi: $$x^2 + 6x + 9 = x^2 - b$$ 4. Sederhanakan persamaan: - Kurangi $x^2$ dari kedua sisi: $$6x + 9 = -b$$ 5. Namun, persamaan ini tidak konsisten karena sisi kiri bergantung pada $x$ sedangkan sisi kanan konstan. - Ini menunjukkan bahwa fungsi bayangan bukan hanya translasi vertikal dari $x^2$, melainkan juga ada translasi horizontal. 6. Perhatikan bahwa $x^2 + 6x + 9$ dapat difaktorkan: $$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$$ 7. Jadi, fungsi bayangan adalah: $$f'(x) = (x + 3)^2$$ 8. Fungsi ini merupakan hasil translasi horizontal fungsi $x^2$ ke kiri 3 satuan, bukan translasi vertikal. 9. Namun, soal menyatakan translasi oleh $T = \binom{0}{-b}$, yaitu translasi vertikal saja. 10. Untuk menyamakan $f'(x) = (x + 3)^2$ dengan bentuk $f(x) - b = x^2 - b$, kita substitusi $x' = x + 3$: $$f'(x) = (x + 3)^2 = x'^2$$ 11. Jadi, fungsi bayangan adalah fungsi asli yang digeser secara horizontal, bukan vertikal. 12. Kesimpulan: Jika translasi hanya vertikal, maka $f'(x) = x^2 - b$ harus sama dengan $x^2 + 6x + 9$, yang tidak mungkin. 13. Namun, jika kita anggap translasi $T = \binom{0}{-b}$ adalah translasi vertikal dari fungsi yang sudah ditranslasi horizontal, maka: $$f'(x) = (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$$ $$f'(x) = f(x) - b$$ 14. Karena $f(x) = x^2$, maka: $$(x + 3)^2 = x^2 - b$$ 15. Evaluasi di $x = 0$: $$(0 + 3)^2 = 0^2 - b$$ $$9 = -b$$ 16. Jadi: $$b = -9$$ Jawaban akhir: nilai $b$ adalah $-9$.