1. Probleemstelling: We bekijken het tekenverloop van een derdegraads veeltermfunctie $f(x)$ rond haar nulpunten $x_1$, $x_2$ en $x_3$. 2. Eigenschappen: - Een derdegraads veelterm heeft maximaal drie nulpunten. - Tussen de nulpunten kan het teken van $f(x)$ wisselen. - Bij een nulwaarde (waar $f(x) = 0$) verandert het teken van positief naar negatief of omgekeerd, behalve als het nulpunt een meervoudige nul is (dan kan het teken gelijk blijven). 3. Analyse per voorbeeld: (A) Tekens: $\frac{x}{f(x)} \big| x_1 x_2 x_3$ Boven de nulpunten: $-, 0, +, 0, -, 0, +$ Dit betekent: - Voor $x_1$ is teken wisseling van - naar + (tegenstelling, correct) - Voor $x_2$ is wisseling van + naar - (correct) - Voor $x_3$ is wisseling van - naar + (correct) Dit patroon is mogelijk. (B) Tekens: $+, 0, +, 0, -$ Hier wisseling is van + naar + in eerste nulwaarde, wat betekent dat $x_1$ een nulpunt met even multipliciteit is (geen tekenwisseling). Maar daarna wisseling is + naar - bij $x_2$. Bij een derdegraadsfunctie is het mogelijk maar dan moeten de nulpunten geschikt zijn (meervoudige nul of niet). Het patroon kan voorkomen. (C) Tekens: $-, 0, -, 0, +$ Hier wisseling is van - naar - in $x_1$ (geen tekenwisseling), en dan van - naar + bij $x_2$. Dit kan als $x_1$ een nul is met even multipliciteit. (D) Tekens: $-, 0, +$ Voor enkel nulpunt $x_1$ wisseling van - naar +. Dit is typisch voor een nul van oneven multipliciteit. (E) Tekens: $-, 0, -$ Hier is geen tekenwisseling bij $x_1$, wat betekent een nulpunt met even multipliciteit. 4. Conclusie: - Omdat het gaat over een derdegraads functie, moeten er maximaal drie nulpunten zijn. - Belangrijk is dat het teken wisselt bij nulpunten van oneven multipliciteit en niet wisselt bij nulpunten met even multipliciteit. - Bij derdegraads functies komt meestal een totaal aantal tekenwisselingen dat oneven is. 5. Welke tekenverloop kan NIET voor een derdegraads functie? Kijk naar (B): - In (B) zien we een patroon $+,0,+,0,-$ waarbij het teken tussen $x_1$ en $x_2$ niet wisselt (+ blijft +), maar tussen $x_2$ en $x_3$ wél een wissel is. Bij een derdegraads functie is het onmogelijk dat een nul met even multipliciteit gevolgd wordt door een ander nulpunt die het teken verandert zonder een derde tekenwissel tussen $x_1$ en $x_2$. - Bovendien ontbreken in (B) de juiste hoeveelheid wisselingen voor 3 nulpunten bij een derdegraads functie. Daarom kan tekenverloop (B) niet van een derdegraads functie zijn. Antwoord: (B) is onmogelijk voor het tekenverloop van een derdegraads veeltermfunctie omdat het tekenverloop de vereiste wisselingen tussen de nulpunten niet correct volgt, wat niet compatibel is met de eigenschappen van een derdegraads functie.