1. Énonçons le problème : il s'agit de déterminer le tableau de signe de la fonction $$f(x) = \frac{3x+2}{-2xe^2 + x + 1}$$. 2. Rappelons que le signe d'un quotient dépend du signe du numérateur et du dénominateur. Le quotient est positif si numérateur et dénominateur ont le même signe, négatif sinon. 3. Étudions le numérateur : $$3x + 2 = 0 \Rightarrow x = -\frac{2}{3}$$. 4. Étudions le dénominateur : $$-2xe^2 + x + 1 = 0$$. Factorisons par $x$ : $$x(-2e^2 + 1) + 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{-1}{-2e^2 + 1} = \frac{1}{2e^2 - 1}$$. 5. Calculons la valeur de $\frac{1}{2e^2 - 1}$ : sachant que $e^2 \approx 7.389$, alors $2e^2 - 1 \approx 2 \times 7.389 - 1 = 14.778 - 1 = 13.778$, donc $x \approx \frac{1}{13.778} \approx 0.0725$. 6. Construisons le tableau de signe en plaçant les points critiques $x = -\frac{2}{3} \approx -0.666$ et $x \approx 0.0725$ sur la droite réelle. - Pour $x < -\frac{2}{3}$, numérateur $3x+2 < 0$. - Pour $x > -\frac{2}{3}$, numérateur $3x+2 > 0$. - Pour $x < 0.0725$, dénominateur $-2xe^2 + x + 1 > 0$ (car $x < \frac{1}{2e^2 - 1}$). - Pour $x > 0.0725$, dénominateur $-2xe^2 + x + 1 < 0$. 7. En combinant les signes : | Intervalle | Numérateur | Dénominateur | Signe de $f(x)$ | |------------|------------|--------------|-----------------| | $(-\infty, -\frac{2}{3})$ | $-$ | $+$ | $-$ | | $(-\frac{2}{3}, 0.0725)$ | $+$ | $+$ | $+$ | | $(0.0725, +\infty)$ | $+$ | $-$ | $-$ | 8. Conclusion : - $f(x) < 0$ sur $(-\infty, -\frac{2}{3})$ et $(0.0725, +\infty)$. - $f(x) > 0$ sur $(-\frac{2}{3}, 0.0725)$. Le tableau de signe est ainsi établi.