1. **Énoncé du problème :** Résoudre le système linéaire suivant par la méthode de l'inverse de matrice : $$\begin{cases} 2x + y - z = 2 \\ x - y + z = 7 \\ x + 2y - z = -1 \end{cases}$$ 2. **Formule utilisée :** Pour un système $AX = B$, la solution est $X = A^{-1}B$ si $A$ est inversible. 3. **Définir la matrice des coefficients $A$ et le vecteur $B$ :** $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 \\ 7 \\ -1 \end{pmatrix}$$ 4. **Calculer le déterminant de $A$ pour vérifier l'inversibilité :** $$\det(A) = 2((-1)(-1) - 1 \times 2) - 1(1 \times (-1) - 1 \times 1) + (-1)(1 \times 2 - (-1) \times 1)$$ $$= 2(1 - 2) - 1(-1 - 1) - 1(2 + 1) = 2(-1) - 1(-2) - 1(3) = -2 + 2 - 3 = -3$$ Le déterminant est $-3 \neq 0$, donc $A$ est inversible. 5. **Calculer la matrice inverse $A^{-1}$ :** La matrice adjointe $\text{adj}(A)$ est calculée par les cofacteurs : $$\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} (-1)(-1)-1\times2 & -(1(-1)-1\times1) & 1\times2 - (-1)\times1 \\ -(1(-1)-1\times1) & 2(-1)-(-1)\times1 & -(2\times2 - (-1)\times1) \\ 1\times2 - (-1)\times1 & -(2\times1 - 1\times1) & 2\times(-1) - 1\times1 \end{pmatrix}^T$$ Calculons chaque cofacteur : - $C_{11} = (-1)(-1) - 1 \times 2 = 1 - 2 = -1$ - $C_{12} = -(1(-1) - 1 \times 1) = -(-1 - 1) = 2$ - $C_{13} = 1 \times 2 - (-1) \times 1 = 2 + 1 = 3$ - $C_{21} = -(1(-1) - 1 \times 1) = 2$ (même que $C_{12}$) - $C_{22} = 2(-1) - (-1) \times 1 = -2 + 1 = -1$ - $C_{23} = -(2 \times 2 - (-1) \times 1) = -(4 + 1) = -5$ - $C_{31} = 1 \times 2 - (-1) \times 1 = 3$ (même que $C_{13}$) - $C_{32} = -(2 \times 1 - 1 \times 1) = -(2 - 1) = -1$ - $C_{33} = 2 \times (-1) - 1 \times 1 = -2 - 1 = -3$ Donc, $$\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & -5 \\ 3 & -1 & -3 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & -1 \\ 3 & -5 & -3 \end{pmatrix}$$ 6. **Calcul de $A^{-1}$ :** $$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) = -\frac{1}{3} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & -1 \\ 3 & -5 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} & -1 \\ -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ -1 & \frac{5}{3} & 1 \end{pmatrix}$$ 7. **Calculer la solution $X = A^{-1}B$ :** $$X = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} & -1 \\ -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ -1 & \frac{5}{3} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 7 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \times 2 - \frac{2}{3} \times 7 - 1 \times (-1) \\ -\frac{2}{3} \times 2 + \frac{1}{3} \times 7 + \frac{1}{3} \times (-1) \\ -1 \times 2 + \frac{5}{3} \times 7 + 1 \times (-1) \end{pmatrix}$$ Calculons chaque composante : - $x = \frac{2}{3} - \frac{14}{3} + 1 = \frac{2 - 14}{3} + 1 = -\frac{12}{3} + 1 = -4 + 1 = -3$ - $y = -\frac{4}{3} + \frac{7}{3} - \frac{1}{3} = \frac{-4 + 7 - 1}{3} = \frac{2}{3}$ - $z = -2 + \frac{35}{3} - 1 = \frac{-6 + 35 - 3}{3} = \frac{26}{3}$ 8. **Solution finale :** $$\boxed{(x, y, z) = \left(-3, \frac{2}{3}, \frac{26}{3}\right)}$$