1. **Énoncé du problème :** Résoudre le système d'équations linéaires à trois inconnues $x$, $y$, et $z$ : $$\begin{cases} x + 3y + 2z = -13 \\ 2x - 6y + 3z = 32 \\ 3x - 4y - z = 12 \end{cases}$$ 2. **Méthode utilisée :** Nous allons utiliser la méthode de substitution ou d'élimination pour trouver les valeurs de $x$, $y$, et $z$. 3. **Étape 1 : Isoler $x$ dans la première équation** $$x = -13 - 3y - 2z$$ 4. **Étape 2 : Substituer $x$ dans les deux autres équations** Dans la deuxième équation : $$2(-13 - 3y - 2z) - 6y + 3z = 32$$ Simplifions : $$-26 - 6y - 4z - 6y + 3z = 32$$ $$-26 - 12y - z = 32$$ $$-12y - z = 32 + 26$$ $$-12y - z = 58$$ Dans la troisième équation : $$3(-13 - 3y - 2z) - 4y - z = 12$$ Simplifions : $$-39 - 9y - 6z - 4y - z = 12$$ $$-39 - 13y - 7z = 12$$ $$-13y - 7z = 12 + 39$$ $$-13y - 7z = 51$$ 5. **Étape 3 : Résoudre le système à deux inconnues $y$ et $z$ :** $$\begin{cases} -12y - z = 58 \\ -13y - 7z = 51 \end{cases}$$ 6. **Étape 4 : Isoler $z$ dans la première équation** $$z = -12y - 58$$ 7. **Étape 5 : Substituer $z$ dans la deuxième équation** $$-13y - 7(-12y - 58) = 51$$ $$-13y + 84y + 406 = 51$$ $$71y + 406 = 51$$ $$71y = 51 - 406$$ $$71y = -355$$ $$y = \frac{-355}{71} = -5$$ 8. **Étape 6 : Trouver $z$** $$z = -12(-5) - 58 = 60 - 58 = 2$$ 9. **Étape 7 : Trouver $x$** $$x = -13 - 3(-5) - 2(2) = -13 + 15 - 4 = -2$$ **Réponse finale :** $$\boxed{x = -2, \quad y = -5, \quad z = 2}$$