1. Problema cere să calculăm suma seriei infinite $$S = \sum_{n=1}^\infty \frac{2n - 1}{7^n}$$ cu o eroare mai mică de $$10^{-4}$$. 2. Observăm că seria este o sumă de termeni care implică $$n$$ și $$7^n$$. Putem descompune suma în două serii mai simple: $$S = \sum_{n=1}^\infty \frac{2n}{7^n} - \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{7^n}$$ 3. Folosim formulele pentru seriile geometrice și seriile cu termeni multiplicați cu $$n$$: - Pentru $$\sum_{n=1}^\infty x^n = \frac{x}{1-x}$$, cu $$|x|<1$$. - Pentru $$\sum_{n=1}^\infty n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}$$, cu $$|x|<1$$. 4. Aplicăm aceste formule cu $$x = \frac{1}{7}$$: - $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{7^n} = \frac{\frac{1}{7}}{1 - \frac{1}{7}} = \frac{\frac{1}{7}}{\frac{6}{7}} = \frac{1}{6}$$ - $$\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{7^n} = \frac{\frac{1}{7}}{(1 - \frac{1}{7})^2} = \frac{\frac{1}{7}}{\left(\frac{6}{7}\right)^2} = \frac{\frac{1}{7}}{\frac{36}{49}} = \frac{49}{252} = \frac{7}{36}$$ 5. Calculăm suma: $$S = 2 \cdot \frac{7}{36} - \frac{1}{6} = \frac{14}{36} - \frac{6}{36} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9} \approx 0.2222$$ 6. Pentru a verifica eroarea mai mică de $$10^{-4}$$, observăm că seria este convergentă rapid datorită factorului $$\frac{1}{7^n}$$ și folosind primele câteva termeni suma este foarte apropiată de valoarea exactă. Răspuns final: $$S = \frac{2}{9} \approx 0.2222$$.