1. مسئله اول: معادله $$x^4 + (m-3)x^3 + m = 0$$ دارای سه ریشه حقیقی متمایز است و می‌خواهیم مجموع مربعات ریشه‌ها را پیدا کنیم. 2. فرض کنیم ریشه‌ها $$x_1, x_2, x_3, x_4$$ باشند. 3. از رابطه‌های وی‌تا برای معادله $$x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0$$ داریم: - $$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -a_3$$ - $$x_1 x_2 + x_1 x_3 + \\cdots = a_2$$ - $$x_1 x_2 x_3 + \\cdots = -a_1$$ - $$x_1 x_2 x_3 x_4 = a_0$$ 4. در معادله ما: - $$a_3 = m-3$$ - $$a_2 = 0$$ (زیرا $$x^2$$ نیست) - $$a_1 = 0$$ - $$a_0 = m$$ 5. پس: - $$ ext{مجموع ریشه‌ها} = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 3 - m$$ - $$ ext{مجموع حاصل‌ضرب های دو به دو ریشه‌ها} = 0$$ 6. مجموع مربعات ریشه‌ها را به کمک رابطه زیر بدست می‌آوریم: $$\sum x_i^2 = (\sum x_i)^2 - 2 \sum_{i