1. مسئله را بیان می‌کنیم: مجموع ریشه‌های معادله $$8 - x = \sqrt{x} - 3x - 9\sqrt{x} - x^9$$ را پیدا کنیم. 2. ابتدا معادله را بازنویسی می‌کنیم: $$8 - x = \sqrt{x} - 3x - 9\sqrt{x} - x^9$$ 3. سمت راست را ساده می‌کنیم: $$\sqrt{x} - 9\sqrt{x} = -8\sqrt{x}$$ پس معادله به شکل زیر می‌شود: $$8 - x = -8\sqrt{x} - 3x - x^9$$ 4. همه جملات را به یک طرف معادله منتقل می‌کنیم: $$8 - x + 8\sqrt{x} + 3x + x^9 = 0$$ یا $$8 + 2x + 8\sqrt{x} + x^9 = 0$$ 5. برای ساده‌تر کردن، متغیر کمکی می‌گذاریم: $$t = \sqrt{x} \Rightarrow x = t^2$$ 6. جایگذاری می‌کنیم: $$8 + 2t^2 + 8t + (t^2)^9 = 0$$ یعنی $$8 + 2t^2 + 8t + t^{18} = 0$$ 7. معادله به شکل زیر است: $$t^{18} + 2t^2 + 8t + 8 = 0$$ 8. این معادله بسیار پیچیده است و ریشه‌های آن به صورت تحلیلی ساده قابل یافتن نیستند. اما چون سوال مجموع ریشه‌ها را خواسته، از قضیه ویِتا استفاده می‌کنیم. 9. معادله درجه ۱۸ است و به شکل کلی: $$t^{18} + 0\cdot t^{17} + \cdots + 8 = 0$$ 10. مجموع ریشه‌های معادله درجه ۱۸ به صورت $$-\frac{a_{17}}{a_{18}}$$ است که در اینجا $$a_{17} = 0$$ و $$a_{18} = 1$$. 11. پس مجموع ریشه‌های $$t$$ برابر است با: $$-\frac{0}{1} = 0$$ 12. اما ما مجموع ریشه‌های $$x$$ را می‌خواهیم. ریشه‌های $$x$$ برابرند با $$t^2$$ که مربع ریشه‌های $$t$$ هستند. 13. مجموع ریشه‌های $$x$$ برابر است با مجموع $$t_i^2$$ که با استفاده از رابطه: $$\left(\sum t_i\right)^2 = \sum t_i^2 + 2\sum_{i