1. **Énoncé du problème :** Montrer que la somme $$\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}} = 9.$$ 2. **Analyse de chaque terme de la somme :** Prenons un terme général de la somme, pour un entier naturel $n$ tel que $1 \leq n \leq 99$ : $$\frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}}.$$ 3. **Rationalisation du dénominateur :** Multipliant le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{n+1} - \sqrt{n}$, on obtient : $$\frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} \times \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{(\sqrt{n+1})^2 - (\sqrt{n})^2} = \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{n+1 - n} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}.$$ 4. **Somme télescopique :** La somme initiale devient alors : $$\sum_{n=1}^{99} \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} = \sum_{n=1}^{99} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) = (\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + \cdots + (\sqrt{100} - \sqrt{99}).$$ 5. **Calcul des termes qui s'annulent :** Dans cette somme, tous les termes intermédiaires s'annulent (les $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, ..., $\sqrt{99}$) et il reste : $$\sqrt{100} - \sqrt{1} = 10 - 1 = 9.$$ 6. **Conclusion :** Nous avons montré que $$\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}} = 9.$$