1. مسئله: در یک دنباله حسابی، مجموع $n$ جمله اول برابر 27 و مجموع $2n$ جمله اول برابر 180 است. مجموع $3n$ جمله اول این دنباله را بیابید. 2. فرمول مجموع $k$ جمله اول دنباله حسابی: $$S_k = \frac{k}{2} [2a + (k-1)d]$$ که در آن $a$ جمله اول و $d$ قدر نسبت است. 3. با توجه به داده‌ها: $$S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] = 27$$ $$S_{2n} = \frac{2n}{2} [2a + (2n-1)d] = n[2a + (2n-1)d] = 180$$ 4. از معادله اول: $$2a + (n-1)d = \frac{54}{n}$$ 5. از معادله دوم: $$2a + (2n-1)d = \frac{180}{n}$$ 6. تفاضل معادلات 5 و 4: $$[2a + (2n-1)d] - [2a + (n-1)d] = \frac{180}{n} - \frac{54}{n}$$ $$ (2n-1)d - (n-1)d = \frac{126}{n}$$ $$ (2n-1 - n + 1)d = \frac{126}{n}$$ $$ nd = \frac{126}{n} \Rightarrow d = \frac{126}{n^2}$$ 7. جایگذاری $d$ در معادله 4: $$2a + (n-1) \frac{126}{n^2} = \frac{54}{n}$$ $$2a = \frac{54}{n} - \frac{126(n-1)}{n^2} = \frac{54n - 126(n-1)}{n^2} = \frac{54n - 126n + 126}{n^2} = \frac{-72n + 126}{n^2}$$ $$a = \frac{-72n + 126}{2n^2}$$ 8. حال مجموع $3n$ جمله اول: $$S_{3n} = \frac{3n}{2} [2a + (3n-1)d]$$ 9. جایگذاری $a$ و $d$: $$2a + (3n-1)d = 2 \times \frac{-72n + 126}{2n^2} + (3n-1) \times \frac{126}{n^2} = \frac{-72n + 126}{n^2} + \frac{126(3n-1)}{n^2} = \frac{-72n + 126 + 378n - 126}{n^2} = \frac{306n}{n^2} = \frac{306}{n}$$ 10. بنابراین: $$S_{3n} = \frac{3n}{2} \times \frac{306}{n} = \frac{3 \times 306}{2} = \frac{918}{2} = 459$$ پاسخ نهایی: 459