1. **Énoncé du problème :** On considère les suites $(U_n)$ et $(V_n)$ définies par $$\begin{cases} U_0 = 0 \\ U_{n+1} = \frac{3}{5} U_n + \frac{2}{5} \quad \forall n \in \mathbb{N} \\ V_n = U_n - 1 \quad \forall n \in \mathbb{N} \end{cases}$$ 2. **Calcul de $V_0$ et $U_1$ :** - $V_0 = U_0 - 1 = 0 - 1 = -1$ - $U_1 = \frac{3}{5} U_0 + \frac{2}{5} = \frac{3}{5} \times 0 + \frac{2}{5} = \frac{2}{5}$ 3. **Montrer par récurrence que $U_n < 1$ pour tout $n$ :** - Initialisation : $U_0 = 0 < 1$ vraie. - Hypothèse de récurrence : Supposons $U_n < 1$. - Passage à $n+1$ : $$U_{n+1} = \frac{3}{5} U_n + \frac{2}{5} < \frac{3}{5} \times 1 + \frac{2}{5} = 1$$ - Donc $U_{n+1} < 1$. - Conclusion : Par récurrence, $\forall n, U_n < 1$. 4. **a) Déterminer la monotonie de $(U_n)$ :** - Calcul de $U_{n+1} - U_n$ : $$U_{n+1} - U_n = \frac{3}{5} U_n + \frac{2}{5} - U_n = \left(\frac{3}{5} - 1\right) U_n + \frac{2}{5} = -\frac{2}{5} U_n + \frac{2}{5} = \frac{2}{5} (1 - U_n)$$ - Comme $U_n < 1$, $1 - U_n > 0$, donc $U_{n+1} - U_n > 0$. - Donc $(U_n)$ est strictement croissante. 4. **b) $(U_n)$ est convergente :** - $(U_n)$ est croissante et majorée par 1. - Donc $(U_n)$ converge. 5. **a) Montrer que $(V_n)$ est géométrique de raison $\frac{3}{5}$ :** - $V_n = U_n - 1$ - $V_{n+1} = U_{n+1} - 1 = \frac{3}{5} U_n + \frac{2}{5} - 1 = \frac{3}{5} U_n - \frac{3}{5} = \frac{3}{5} (U_n - 1) = \frac{3}{5} V_n$ - Donc $(V_n)$ est géométrique de raison $\frac{3}{5}$. 5. **b) Expression de $V_n$ et $U_n$ en fonction de $n$ :** - $V_0 = U_0 - 1 = -1$ - Donc $V_n = V_0 \left(\frac{3}{5}\right)^n = - \left(\frac{3}{5}\right)^n$ - $U_n = V_n + 1 = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^n$ 5. **c) Calcul de $\lim_{n \to +\infty} U_n$ :** - Comme $\left|\frac{3}{5}\right| < 1$, $\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{3}{5}\right)^n = 0$ - Donc $\lim_{n \to +\infty} U_n = 1 - 0 = 1$ **Réponse finale :** $$\boxed{\begin{cases} V_0 = -1 \\ U_1 = \frac{2}{5} \\ \forall n, U_n < 1 \\ (U_n) \text{ est croissante et convergente} \\ V_n = - \left(\frac{3}{5}\right)^n \\ U_n = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^n \\ \lim_{n \to +\infty} U_n = 1 \end{cases}}$$