1. **Énoncé du problème :** Nous avons une suite $(u_n)$ définie par : $$u_0 = \sqrt[3]{\frac{2}{7}}, \quad u_{n+1} = \sqrt[3]{\frac{(u_n)^3 + 1}{8}} \quad \forall n \in \mathbb{N}.$$ On définit aussi la suite $(v_n)$ par : $$v_n = \frac{7}{8} u_n^3 - \frac{1}{8}.$$ Nous devons calculer $(v_n)$ puis $(u_n)$ en fonction de $n$. 2. **Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique et déterminer sa raison :** Par définition, $$v_n = \frac{7}{8} u_n^3 - \frac{1}{8}.$$ Calculons $v_{n+1}$ : $$v_{n+1} = \frac{7}{8} u_{n+1}^3 - \frac{1}{8}.$$ Or, $$u_{n+1}^3 = \frac{u_n^3 + 1}{8}.$$ Donc, $$v_{n+1} = \frac{7}{8} \times \frac{u_n^3 + 1}{8} - \frac{1}{8} = \frac{7}{64} u_n^3 + \frac{7}{64} - \frac{1}{8}.$$ Simplifions la constante : $$\frac{7}{64} - \frac{1}{8} = \frac{7}{64} - \frac{8}{64} = -\frac{1}{64}.$$ Donc, $$v_{n+1} = \frac{7}{64} u_n^3 - \frac{1}{64} = \frac{1}{8} \left( \frac{7}{8} u_n^3 - \frac{1}{8} \right) = \frac{1}{8} v_n.$$ Ainsi, la suite $(v_n)$ vérifie $$v_{n+1} = \frac{1}{8} v_n,$$ ce qui montre que $(v_n)$ est géométrique de raison $r = \frac{1}{8}$. 3. **Calculer $(v_n)$ puis $(u_n)$ en fonction de $n$ :** La première valeur est $$v_0 = \frac{7}{8} u_0^3 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \times \frac{2}{7} - \frac{1}{8} = \frac{2}{8} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8}.$$ La suite géométrique $(v_n)$ s'écrit donc : $$v_n = v_0 r^n = \frac{1}{8} \left( \frac{1}{8} \right)^n = \left( \frac{1}{8} \right)^{n+1}.$$ Revenons à $u_n$ : $$v_n = \frac{7}{8} u_n^3 - \frac{1}{8} \implies \frac{7}{8} u_n^3 = v_n + \frac{1}{8} \implies u_n^3 = \frac{8}{7} \left( v_n + \frac{1}{8} \right).$$ Substituons $v_n$ : $$u_n^3 = \frac{8}{7} \left( \left( \frac{1}{8} \right)^{n+1} + \frac{1}{8} \right) = \frac{8}{7} \left( \frac{1}{8^{n+1}} + \frac{1}{8} \right) = \frac{8}{7} \left( \frac{1}{8^{n+1}} + \frac{1}{8^1} \right).$$ Factorisons : $$u_n^3 = \frac{8}{7} \times \frac{1}{8} \left( 1 + \frac{1}{8^n} \right) = \frac{1}{7} \left( 1 + \frac{1}{8^n} \right).$$ Donc, $$u_n = \sqrt[3]{\frac{1}{7} \left( 1 + \frac{1}{8^n} \right)}.$$ 4. **Conclusion :** Nous avons exprimé $$v_n = \left( \frac{1}{8} \right)^{n+1}$$ et $$u_n = \sqrt[3]{\frac{1}{7} \left( 1 + \frac{1}{8^n} \right)}.$$