1. **Énoncé du problème** : On considère la suite $(u_n)$ définie par : $$u_0 = \sqrt[3]{\frac{2}{7}}, \quad u_{n+1} = \sqrt[3]{\frac{(u_n)^3 + 1}{8}}$$ On définit aussi la suite $(v_n)$ par : $$v_n = \frac{7}{8}(u_n)^3 - \frac{1}{8}$$ 2. **Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique et déterminer sa raison** : Calculons $v_{n+1}$ : $$v_{n+1} = \frac{7}{8}(u_{n+1})^3 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \cdot \frac{(u_n)^3 + 1}{8} - \frac{1}{8} = \frac{7}{64}(u_n)^3 + \frac{7}{64} - \frac{1}{8}$$ Simplifions les constantes : $$\frac{7}{64} - \frac{1}{8} = \frac{7}{64} - \frac{8}{64} = -\frac{1}{64}$$ Donc : $$v_{n+1} = \frac{7}{64}(u_n)^3 - \frac{1}{64} = \frac{1}{8} \left( \frac{7}{8}(u_n)^3 - \frac{1}{8} \right) = \frac{1}{8} v_n$$ Ainsi, la suite $(v_n)$ vérifie : $$v_{n+1} = \frac{1}{8} v_n$$ C'est une suite géométrique de raison $r = \frac{1}{8}$. 3. **Calculer $(v_n)$ puis $(u_n)$ en fonction de $n$** : La suite géométrique $(v_n)$ de raison $\frac{1}{8}$ et de premier terme $v_0$ vaut : $$v_n = v_0 \left( \frac{1}{8} \right)^n$$ Calculons $v_0$ : $$v_0 = \frac{7}{8}(u_0)^3 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \cdot \frac{2}{7} - \frac{1}{8} = \frac{2}{8} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$$ Donc : $$v_n = \frac{1}{8} \left( \frac{1}{8} \right)^n = \left( \frac{1}{8} \right)^{n+1}$$ Rappelons que : $$v_n = \frac{7}{8}(u_n)^3 - \frac{1}{8}$$ D'où : $$\frac{7}{8}(u_n)^3 = v_n + \frac{1}{8} = \left( \frac{1}{8} \right)^{n+1} + \frac{1}{8}$$ Donc : $$ (u_n)^3 = \frac{8}{7} \left( \left( \frac{1}{8} \right)^{n+1} + \frac{1}{8} \right) = \frac{8}{7} \cdot \frac{1}{8^{n+1}} + \frac{8}{7} \cdot \frac{1}{8} = \frac{8}{7 \cdot 8^{n+1}} + \frac{1}{7} = \frac{1}{7 \cdot 8^n} + \frac{1}{7}$$ Ainsi : $$u_n = \sqrt[3]{\frac{1}{7 \cdot 8^n} + \frac{1}{7}} = \sqrt[3]{\frac{1 + 8^n}{7 \cdot 8^n}}$$ 4. **Calculer la limite $\lim_{n \to \infty} u_n$** : Quand $n \to \infty$, $8^n \to \infty$, donc : $$\frac{1 + 8^n}{7 \cdot 8^n} = \frac{8^n (1 + \frac{1}{8^n})}{7 \cdot 8^n} = \frac{1 + \frac{1}{8^n}}{7} \to \frac{1}{7}$$ Donc : $$\lim_{n \to \infty} u_n = \sqrt[3]{\frac{1}{7}}$$