1. **Énoncé du problème :** Soit la suite $(U_n)_{n\in \mathbb{N}^*}$ définie par : $$U_1 = 3, \quad U_{n+1} = \frac{5U_n - 4}{1 + U_n} \quad \forall n \in \mathbb{N}^*.$$ Calculer $U_2$ et $U_3$. 2. **Calcul de $U_2$ et $U_3$ :** $$U_2 = \frac{5U_1 - 4}{1 + U_1} = \frac{5 \times 3 - 4}{1 + 3} = \frac{15 - 4}{4} = \frac{11}{4} = 2.75.$$ $$U_3 = \frac{5U_2 - 4}{1 + U_2} = \frac{5 \times \frac{11}{4} - 4}{1 + \frac{11}{4}} = \frac{\frac{55}{4} - 4}{\frac{15}{4}} = \frac{\frac{55 - 16}{4}}{\frac{15}{4}} = \frac{39/4}{15/4} = \frac{39}{15} = 2.6.$$ 3. **Montrer par récurrence que $U_n > 2$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ :** - *Initialisation* : $U_1 = 3 > 2$. - *Hérédité* : Supposons $U_n > 2$. Montrons que $U_{n+1} > 2$. $$U_{n+1} = \frac{5U_n - 4}{1 + U_n} > 2 \iff 5U_n - 4 > 2(1 + U_n) \iff 5U_n - 4 > 2 + 2U_n \iff 3U_n > 6 \iff U_n > 2.$$ La propriété est vraie par hypothèse de récurrence, donc $U_{n+1} > 2$. 4. **Étudier la monotonie de $(U_n)$ :** Calculons $U_{n+1} - U_n$ : $$U_{n+1} - U_n = \frac{5U_n - 4}{1 + U_n} - U_n = \frac{5U_n - 4 - U_n(1 + U_n)}{1 + U_n} = \frac{5U_n - 4 - U_n - U_n^2}{1 + U_n} = \frac{4U_n - 4 - U_n^2}{1 + U_n} = \frac{-(U_n^2 - 4U_n + 4)}{1 + U_n} = \frac{-(U_n - 2)^2}{1 + U_n}.$$ Comme $U_n > 2$, le dénominateur $1 + U_n > 0$ et le numérateur est négatif ou nul, donc $$U_{n+1} - U_n \leq 0,$$ avec égalité seulement si $U_n = 2$ (ce qui n'arrive pas car $U_n > 2$). Donc $(U_n)$ est strictement décroissante. 5. **Considérons la suite $(v_n)$ définie par $v_n = \frac{1}{U_n - 2}$ :** (a) Montrons que $(v_n)$ est arithmétique. Calculons $v_{n+1} - v_n$ : $$v_{n+1} - v_n = \frac{1}{U_{n+1} - 2} - \frac{1}{U_n - 2} = \frac{U_n - 2 - (U_{n+1} - 2)}{(U_{n+1} - 2)(U_n - 2)} = \frac{U_n - U_{n+1}}{(U_{n+1} - 2)(U_n - 2)}.$$ Or, $$U_{n+1} = \frac{5U_n - 4}{1 + U_n} \implies U_n - U_{n+1} = U_n - \frac{5U_n - 4}{1 + U_n} = \frac{U_n(1 + U_n) - (5U_n - 4)}{1 + U_n} = \frac{U_n + U_n^2 - 5U_n + 4}{1 + U_n} = \frac{U_n^2 - 4U_n + 4}{1 + U_n} = \frac{(U_n - 2)^2}{1 + U_n}.$$ Donc, $$v_{n+1} - v_n = \frac{(U_n - 2)^2}{(1 + U_n)(U_{n+1} - 2)(U_n - 2)} = \frac{U_n - 2}{(1 + U_n)(U_{n+1} - 2)}.$$ Calculons $U_{n+1} - 2$ : $$U_{n+1} - 2 = \frac{5U_n - 4}{1 + U_n} - 2 = \frac{5U_n - 4 - 2(1 + U_n)}{1 + U_n} = \frac{5U_n - 4 - 2 - 2U_n}{1 + U_n} = \frac{3U_n - 6}{1 + U_n} = \frac{3(U_n - 2)}{1 + U_n}.$$ Substituons dans $v_{n+1} - v_n$ : $$v_{n+1} - v_n = \frac{U_n - 2}{(1 + U_n) \times \frac{3(U_n - 2)}{1 + U_n}} = \frac{U_n - 2}{3(U_n - 2)} = \frac{1}{3}.$$ Donc $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $\frac{1}{3}$. (b) Écrivons $v_n$ et $U_n$ en fonction de $n$ : On a $v_1 = \frac{1}{U_1 - 2} = \frac{1}{3 - 2} = 1$. Donc, $$v_n = v_1 + (n - 1) \times \frac{1}{3} = 1 + \frac{n - 1}{3} = \frac{3 + n - 1}{3} = \frac{n + 2}{3}.$$ Puis, $$U_n = 2 + \frac{1}{v_n} = 2 + \frac{1}{\frac{n + 2}{3}} = 2 + \frac{3}{n + 2}.$$ 6. **Calcul de la somme $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{U_k - 2}$ :** On reconnaît que $S_n = \sum_{k=1}^n v_k$. Comme $(v_n)$ est arithmétique avec $v_1 = 1$ et raison $\frac{1}{3}$, $$S_n = \frac{n}{2} (v_1 + v_n) = \frac{n}{2} \left(1 + \frac{n + 2}{3}\right) = \frac{n}{2} \times \frac{3 + n + 2}{3} = \frac{n}{2} \times \frac{n + 5}{3} = \frac{n(n + 5)}{6}.$$