1. **Énoncé du problème :** Soit la suite $(u_n)_n$ définie par $u_0 = \frac{5}{2}$ et $u_{n+1} = \frac{u_n - 6}{u_n - 4}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. 2. **Calcul de $u_1$ et $u_2$ :** $$u_1 = \frac{u_0 - 6}{u_0 - 4} = \frac{\frac{5}{2} - 6}{\frac{5}{2} - 4} = \frac{\frac{5}{2} - \frac{12}{2}}{\frac{5}{2} - \frac{8}{2}} = \frac{-\frac{7}{2}}{-\frac{3}{2}} = \frac{7}{3}$$ $$u_2 = \frac{u_1 - 6}{u_1 - 4} = \frac{\frac{7}{3} - 6}{\frac{7}{3} - 4} = \frac{\frac{7}{3} - \frac{18}{3}}{\frac{7}{3} - \frac{12}{3}} = \frac{-\frac{11}{3}}{-\frac{5}{3}} = \frac{11}{5}$$ 3. **Montrer que $(u_n)_n$ n'est ni arithmétique ni géométrique :** - Une suite arithmétique vérifie $u_{n+1} - u_n = r$ constant. - Une suite géométrique vérifie $\frac{u_{n+1}}{u_n} = q$ constant. Calculons $u_1 - u_0 = \frac{7}{3} - \frac{5}{2} = \frac{14}{6} - \frac{15}{6} = -\frac{1}{6}$ Calculons $u_2 - u_1 = \frac{11}{5} - \frac{7}{3} = \frac{33}{15} - \frac{35}{15} = -\frac{2}{15}$ Les différences ne sont pas égales, donc pas arithmétique. Calculons $\frac{u_1}{u_0} = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{5}{2}} = \frac{7}{3} \times \frac{2}{5} = \frac{14}{15}$ Calculons $\frac{u_2}{u_1} = \frac{\frac{11}{5}}{\frac{7}{3}} = \frac{11}{5} \times \frac{3}{7} = \frac{33}{35}$ Les rapports ne sont pas égaux, donc pas géométrique. **Réponse :** La suite $(u_n)_n$ n'est ni arithmétique ni géométrique.