1. **Énoncé du problème :** Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1} = \frac{5u_n + 3}{u_n + 3}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. 2. **Calcul de $u_1$ et $u_2$ :** $$u_1 = \frac{5u_0 + 3}{u_0 + 3} = \frac{5 \times 1 + 3}{1 + 3} = \frac{8}{4} = 2$$ $$u_2 = \frac{5u_1 + 3}{u_1 + 3} = \frac{5 \times 2 + 3}{2 + 3} = \frac{13}{5} = 2.6$$ 3. **Montrer que $1 \leq u_n < 3$ pour tout $n$ :** - Initialisation : $u_0 = 1$ donc $1 \leq u_0 < 3$. - Supposons $1 \leq u_n < 3$, montrons que $1 \leq u_{n+1} < 3$. Calculons $u_{n+1} = \frac{5u_n + 3}{u_n + 3}$. - Pour la borne inférieure : $$u_{n+1} - 1 = \frac{5u_n + 3}{u_n + 3} - 1 = \frac{5u_n + 3 - (u_n + 3)}{u_n + 3} = \frac{4u_n}{u_n + 3}$$ Comme $u_n \geq 1$ et $u_n + 3 > 0$, on a $u_{n+1} - 1 \geq 0$, donc $u_{n+1} \geq 1$. - Pour la borne supérieure : $$3 - u_{n+1} = 3 - \frac{5u_n + 3}{u_n + 3} = \frac{3(u_n + 3) - (5u_n + 3)}{u_n + 3} = \frac{3u_n + 9 - 5u_n - 3}{u_n + 3} = \frac{6 - 2u_n}{u_n + 3}$$ Comme $u_n < 3$, on a $6 - 2u_n > 0$ donc $3 - u_{n+1} > 0$, donc $u_{n+1} < 3$. Ainsi, par récurrence, $1 \leq u_n < 3$ pour tout $n$. 4. **Vérification de la relation :** $$u_{n+1} - u_n = \frac{5u_n + 3}{u_n + 3} - u_n = \frac{5u_n + 3 - u_n(u_n + 3)}{u_n + 3} = \frac{5u_n + 3 - u_n^2 - 3u_n}{u_n + 3} = \frac{-u_n^2 + 2u_n + 3}{u_n + 3}$$ Factorisons le numérateur : $$-u_n^2 + 2u_n + 3 = -(u_n^2 - 2u_n - 3) = -(u_n - 3)(u_n + 1)$$ Donc : $$u_{n+1} - u_n = -\frac{(u_n - 3)(u_n + 1)}{u_n + 3}$$ 5. **Montrer que $(u_n)$ est croissante :** On a $u_n + 3 > 0$ et $1 \leq u_n < 3$ donc $u_n - 3 < 0$ et $u_n + 1 > 0$. Ainsi, le produit $(u_n - 3)(u_n + 1) < 0$. Donc $u_{n+1} - u_n = - \frac{(u_n - 3)(u_n + 1)}{u_n + 3} > 0$. Donc $(u_n)$ est croissante. 6. **Définition de la suite $(v_n)$ :** $$v_n = \frac{u_n - 3}{u_n + 1}$$ 7. **Montrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $q = \frac{1}{3}$ :** Calculons $v_{n+1}$ : $$v_{n+1} = \frac{u_{n+1} - 3}{u_{n+1} + 1}$$ Utilisons la relation de $u_{n+1}$ : $$u_{n+1} = \frac{5u_n + 3}{u_n + 3}$$ Donc : $$v_{n+1} = \frac{\frac{5u_n + 3}{u_n + 3} - 3}{\frac{5u_n + 3}{u_n + 3} + 1} = \frac{\frac{5u_n + 3 - 3(u_n + 3)}{u_n + 3}}{\frac{5u_n + 3 + (u_n + 3)}{u_n + 3}} = \frac{5u_n + 3 - 3u_n - 9}{5u_n + 3 + u_n + 3} = \frac{2u_n - 6}{6u_n + 6} = \frac{2(u_n - 3)}{6(u_n + 1)} = \frac{1}{3} \times \frac{u_n - 3}{u_n + 1} = \frac{1}{3} v_n$$ Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $q = \frac{1}{3}$. 8. **Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ :** Comme $v_0 = \frac{u_0 - 3}{u_0 + 1} = \frac{1 - 3}{1 + 1} = \frac{-2}{2} = -1$, on a : $$v_n = v_0 \times q^n = -1 \times \left(\frac{1}{3}\right)^n = -\left(\frac{1}{3}\right)^n$$ **Réponse finale :** $$u_1 = 2, \quad u_2 = \frac{13}{5}$$ $$1 \leq u_n < 3$$ $$u_{n+1} - u_n = -\frac{(u_n - 3)(u_n + 1)}{u_n + 3}$$ La suite $(u_n)$ est croissante. La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\frac{1}{3}$ et $$v_n = -\left(\frac{1}{3}\right)^n$$