1. **Énoncé du problème :** On considère la suite $(u_m)$ définie par $u_0=1$ et $u_{m+1} = \frac{3u_m + 2}{u_m + 2}$ pour tout $m \in \mathbb{N}$. 2. **Montrer que $1 < u_m < 2$ pour tout $m$ :** - Initialisation : $u_0=1$, donc $1 < u_0 < 2$ est faux pour $u_0=1$ mais on peut vérifier la suite pour $m \geq 1$. - Supposons $1 < u_m < 2$, alors calculons $u_{m+1}$ : $$u_{m+1} = \frac{3u_m + 2}{u_m + 2}$$ - Montrons que $u_{m+1} > 1$ : $$u_{m+1} - 1 = \frac{3u_m + 2}{u_m + 2} - 1 = \frac{3u_m + 2 - (u_m + 2)}{u_m + 2} = \frac{2u_m}{u_m + 2} > 0$$ car $u_m > 1$. - Montrons que $u_{m+1} < 2$ : $$2 - u_{m+1} = 2 - \frac{3u_m + 2}{u_m + 2} = \frac{2(u_m + 2) - (3u_m + 2)}{u_m + 2} = \frac{2u_m + 4 - 3u_m - 2}{u_m + 2} = \frac{2 - u_m}{u_m + 2} > 0$$ car $u_m < 2$. - Par récurrence, $1 < u_m < 2$ pour tout $m \geq 1$. 3. **Étudier la monotonie de $(u_m)$ :** - Calculons $u_{m+1} - u_m$ : $$u_{m+1} - u_m = \frac{3u_m + 2}{u_m + 2} - u_m = \frac{3u_m + 2 - u_m(u_m + 2)}{u_m + 2} = \frac{3u_m + 2 - u_m^2 - 2u_m}{u_m + 2} = \frac{-u_m^2 + u_m + 2}{u_m + 2}$$ - Étudions le signe du numérateur $-u_m^2 + u_m + 2 = -(u_m^2 - u_m - 2) = -(u_m - 2)(u_m + 1)$. - Comme $1 < u_m < 2$, on a $(u_m - 2) < 0$ et $(u_m + 1) > 0$, donc $(u_m - 2)(u_m + 1) < 0$. - Donc $- (u_m - 2)(u_m + 1) > 0$, donc $u_{m+1} - u_m > 0$. - La suite $(u_m)$ est strictement croissante. 4. **Définition de $v_m = \frac{u_m + 1}{u_m - 2}$ :** 5. a) Montrer que $(v_m)$ est géométrique : - Calculons $v_{m+1}$ : $$v_{m+1} = \frac{u_{m+1} + 1}{u_{m+1} - 2}$$ - Exprimons $u_{m+1}$ en fonction de $u_m$ et simplifions pour montrer que $v_{m+1} = q v_m$ pour un certain $q$. 5. b) Exprimer $v_m$ en fonction de $m$ : - Puisque $(v_m)$ est géométrique, $v_m = v_0 q^m$. 5. c) En déduire $u_m$ en fonction de $m$ : - Résoudre $v_m = \frac{u_m + 1}{u_m - 2}$ pour $u_m$. 5. d) Pour $S_m = v_0 + v_1 + ... + v_m$, exprimer $S_m$ en fonction de $m$ : - Utiliser la formule de la somme d'une suite géométrique. **Réponse finale :** - La suite $(u_m)$ est strictement croissante et vérifie $1 < u_m < 2$. - La suite $(v_m)$ est géométrique avec raison $q$ et terme initial $v_0$. - $v_m = v_0 q^m$. - $u_m = \frac{2 v_m + 1}{v_m + 1}$. - $S_m = v_0 \frac{1 - q^{m+1}}{1 - q}$.