1. On considère la suite $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{k}{2^{k-1}} = 1 + \frac{2}{2} + \frac{3}{2^2} + \cdots + \frac{n}{2^{n-1}}$ définie pour $n \in \mathbb{N}^*$. 2. Montrons la formule donnée : $S_n = 4 \left( 1 - \frac{1}{2^n} \right) - t_n$ où $t_n$ représente un terme à identifier. 3. Pour cela, on utilise la relation de somme partielle d'une série dérivée. 4. Rappelons que la somme géométrique est : $$\sum_{k=0}^{n-1} x^k = \frac{1 - x^n}{1 - x}$$ pour $x \neq 1$. 5. Considérons la fonction génératrice $f(x) = \sum_{k=1}^n k x^{k-1}$, ici avec $x = \frac{1}{2}$. 6. Cette somme peut s'écrire : $$f(x) = \frac{1 - (n+1)x^n + n x^{n+1}}{(1-x)^2}$$ 7. En remplaçant $x=\frac{1}{2}$, on obtient : $$S_n = f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1 - (n+1) \left(\frac{1}{2}\right)^n + n \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{\left(1 - \frac{1}{2}\right)^2} = \frac{1 - (n+1)2^{-n} + n 2^{-(n+1)}}{\left(\frac{1}{2}\right)^2}$$ 8. Calculons le dénominateur : $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ donc $\frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = 4$. 9. Ainsi, $$S_n = 4 \left(1 - (n+1) 2^{-n} + n 2^{-(n+1)} \right) = 4 \left(1 - \frac{n+1}{2^n} + \frac{n}{2^{n+1}} \right)$$ 10. Simplifions l'expression entre parenthèses en mettant au même dénominateur $2^{n+1}$: $$1 = \frac{2^{n+1}}{2^{n+1}}, \quad \frac{n+1}{2^n} = \frac{(n+1) 2}{2^{n+1}}, \quad \frac{n}{2^{n+1}} $$ 11. L'expression devient : $$\frac{2^{n+1} - 2(n+1) + n}{2^{n+1}} = \frac{2^{n+1} - 2n - 2 + n}{2^{n+1}} = \frac{2^{n+1} - n - 2}{2^{n+1}}$$ 12. On définit alors $$t_n = \frac{n+2}{2^n}$$ ce qui permet d'écrire $$S_n = 4 \left(1 - \frac{1}{2^n} \right) - t_n$$ car $$4 \cdot \frac{1}{2^n} = \frac{4}{2^n} = \frac{2^{2}}{2^{n}} = 2^{2-n}$$, mais ici on garde la forme ci-dessus. 13. Conclusion de la première question : $$S_n = 4 \left(1 - \frac{1}{2^n} \right) - \frac{n+2}{2^n}$$ 14. Pour la limite quand $n \to +\infty$: 15. Comme $\lim_{n\to+\infty} \frac{1}{2^n} = 0$ et $\lim_{n\to+\infty} \frac{n}{2^n} = 0$, on a $$\lim_{n \to +\infty} S_n = 4(1 - 0) - 0 = 4$$ 16. Donc la suite $S_n$ converge vers 4. **Réponses finales** : - $S_n = 4 \left(1 - \frac{1}{2^n} \right) - \frac{n+2}{2^n}$ - $\lim_{n \to +\infty} S_n = 4$