1. **Énoncé du problème :** On considère la suite $(U_n)_{n\in \mathbb{N}}$ définie par $U_0=2$ et $U_{n+1} = \frac{1}{4} U_n - \frac{1}{4}$. On définit aussi $V_n = 3U_n + 1$. 2. **Montrer que $(V_n)$ est une suite géométrique, préciser sa raison et son premier terme :** On calcule $V_{n+1}$ : $$V_{n+1} = 3U_{n+1} + 1 = 3\left(\frac{1}{4} U_n - \frac{1}{4}\right) + 1 = \frac{3}{4} U_n - \frac{3}{4} + 1 = \frac{3}{4} U_n + \frac{1}{4}.$$ Or $V_n = 3U_n + 1$, donc isolons $U_n$ : $$U_n = \frac{V_n - 1}{3}.$$ Substituons dans $V_{n+1}$ : $$V_{n+1} = \frac{3}{4} \times \frac{V_n - 1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{V_n - 1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{V_n - 1 + 1}{4} = \frac{V_n}{4}.$$ Donc la suite $(V_n)$ vérifie : $$V_{n+1} = \frac{1}{4} V_n,$$ ce qui montre que $(V_n)$ est géométrique de raison $q = \frac{1}{4}$. Calculons $V_0$ : $$V_0 = 3U_0 + 1 = 3 \times 2 + 1 = 7.$$ Donc $V_0 = 7$. 3. **Trouver $V_n$ en fonction de $n$ :** Pour une suite géométrique, on a : $$V_n = V_0 q^n = 7 \left(\frac{1}{4}\right)^n.$$ 4. **Déduire $U_n$ en fonction de $n$ :** On rappelle que : $$V_n = 3U_n + 1 \Rightarrow U_n = \frac{V_n - 1}{3} = \frac{7 \left(\frac{1}{4}\right)^n - 1}{3}.$$ 5. **Calculer $S_n = V_0 + \cdots + V_n$ en fonction de $n$ :** La somme des $n+1$ premiers termes d'une suite géométrique est : $$S_n = V_0 \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} = 7 \frac{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^{n+1}}{1 - \frac{1}{4}} = 7 \frac{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^{n+1}}{\frac{3}{4}} = \frac{28}{3} \left(1 - \left(\frac{1}{4}\right)^{n+1}\right).$$ 6. **Déduire $S'_n = U_0 + \cdots + U_n$ en fonction de $n$ :** On a : $$S'_n = \sum_{k=0}^n U_k = \sum_{k=0}^n \frac{V_k - 1}{3} = \frac{1}{3} \sum_{k=0}^n V_k - \frac{1}{3} \sum_{k=0}^n 1 = \frac{S_n}{3} - \frac{n+1}{3}.$$ En remplaçant $S_n$ : $$S'_n = \frac{1}{3} \times \frac{28}{3} \left(1 - \left(\frac{1}{4}\right)^{n+1}\right) - \frac{n+1}{3} = \frac{28}{9} \left(1 - \left(\frac{1}{4}\right)^{n+1}\right) - \frac{n+1}{3}.$$ **Réponses finales :** - $(V_n)$ est géométrique de raison $\frac{1}{4}$ et $V_0=7$. - $V_n = 7 \left(\frac{1}{4}\right)^n$. - $U_n = \frac{7 \left(\frac{1}{4}\right)^n - 1}{3}$. - $S_n = \frac{28}{3} \left(1 - \left(\frac{1}{4}\right)^{n+1}\right)$. - $S'_n = \frac{28}{9} \left(1 - \left(\frac{1}{4}\right)^{n+1}\right) - \frac{n+1}{3}$.