1. **بيان المسألة:** لدينا دالتان $f$ و $g$ معرفتان على $\mathbb{R}$ مع تمثيلهما البياني $C_f$ و $C_g$. المطلوب حل مسائل متعددة تتعلق بهما. 2. **جدول التغيّرات:** - $f$ دالة تقوسها للأسفل تمر بنقاط تقريبية $(-1,2)$، $(0,1)$، $(1,0)$. - $g$ دالة تقوسها للأعلى تمر بنقاط تقريبية $(-2,0)$، $(0,0)$، $(2,3)$. 3. **القيم الحدّية:** - $f$ عند $x=-1$ تأخذ القيمة $2$ وهي قيمة عظمى محلية. - $f$ عند $x=1$ تأخذ القيمة $0$ وهي قيمة دنيا محلية. - $g$ عند $x=0$ تأخذ القيمة $0$ وهي قيمة دنيا محلية. - $g$ عند $x=2$ تأخذ القيمة $3$ وهي قيمة عظمى محلية. 4. **سوابق القيم:** - لإيجاد سوابق $2$ في $f$, نبحث عن $x$ حيث $f(x)=2$. من الرسم، $f(-1)=2$، إذن السابق هو $x=-1$. - لإيجاد سوابق $-2$ في $g$, نبحث عن $x$ حيث $g(x)=-2$. من الرسم، $g$ لا تصل إلى $-2$ (القيم موجبة أو صفر)، إذن لا يوجد سابق لـ $-2$ في $g$. 5. **حل المعادلة $f(x)=g(x)$ بيانياً:** - نبحث نقاط تقاطع المنحنيين $C_f$ و $C_g$. - من الرسم، التقاطع تقريبا عند $x=0$ حيث $f(0)=1$ و $g(0)=0$ غير متساوي. - تقاطع آخر تقريبا عند نقطة بين $x=1$ و $x=2$ حيث تتقارب القيم. - إذن الحلول التقريبية هي نقاط تقاطع المنحنيين التي يمكن تحديدها بدقة أكثر باستخدام المعادلات التحليلية. 6. **دراسة إشارة $f(x)$:** - $f(x)$ موجبة بين $x=-1$ و $x=1$. - $f(x)$ سالبة خارج هذا المجال. 7. **الوضع النسبي للمنحني $C_f$ بالنسبة لـ $C_g$:** - بين $x=-2$ و $x=0$, $g(x) \leq f(x)$. - بين $x=0$ و $x=1$, $f(x) > g(x)$. - بعد $x=1$, $g(x) > f(x)$. **الملخص في جدول:** | المجال | إشارة $f(x)$ | مقارنة $f(x)$ و $g(x)$ | |--------|--------------|-----------------------| | $(-\infty, -1)$ | سالبة | $f(x) < g(x)$ | | $[-1, 0)$ | موجبة | $f(x) > g(x)$ | | $[0, 1]$ | موجبة | $f(x) > g(x)$ | | $(1, +\infty)$ | سالبة | $f(x) < g(x)$ | **الخلاصة:** تم دراسة التغيّرات، القيم الحدّية، سوابق القيم، حل المعادلة $f(x)=g(x)$ بيانياً، إشارة $f(x)$، والوضع النسبي للمنحنيين مع تلخيص النتائج في جدول.