1. **Énoncé du problème**: Montrer que l'ensemble $$F = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + 2y = 0\}$$ est un sous-espace vectoriel de $$\mathbb{R}^3$$ et donner une base de $$F$$. 2. **Vérification que F est un sous-espace vectoriel**: - **Non-vacuité**: Le vecteur nul $$\mathbf{0} = (0,0,0)$$ est dans $$F$$ car $$0 + 2\times 0 = 0$$. - **Stabilité par addition**: Soient $$\mathbf{u} = (x_1,y_1,z_1)$$ et $$\mathbf{v} = (x_2,y_2,z_2)$$ deux vecteurs de $$F$$, donc $$x_1 + 2y_1 = 0$$ et $$x_2 + 2y_2 = 0$$. Alors leur somme est $$\mathbf{u} + \mathbf{v} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2)$$ et: $$ (x_1 + x_2) + 2(y_1 + y_2) = (x_1 + 2y_1) + (x_2 + 2y_2) = 0 + 0 = 0 $$ Donc $$\mathbf{u} + \mathbf{v} \in F$$. - **Stabilité par multiplication scalaire**: Pour $$\mathbf{u} = (x,y,z) \in F$$ et $$\lambda \in \mathbb{R}$$, $$ \lambda \mathbf{u} = (\lambda x, \lambda y, \lambda z) $$ On a: $$ \lambda x + 2 \times \lambda y = \lambda (x + 2y) = \lambda \times 0 = 0 $$ Donc $$\lambda \mathbf{u} \in F$$. Ainsi, $$F$$ est un sous-espace vectoriel de $$\mathbb{R}^3$$. 3. **Trouver une base de F**: La condition $$x + 2y = 0$$ donne $$x = -2y$$. Donc les vecteurs de $$F$$ ont la forme: $$ (x,y,z) = (-2y, y, z) = y(-2,1,0) + z(0,0,1) $$ avec $$y,z \in \mathbb{R}$$. Les vecteurs $$(-2,1,0)$$ et $$(0,0,1)$$ sont donc une base de $$F$$. **Réponse finale**: $$F$$ est un sous-espace vectoriel de $$\mathbb{R}^3$$ et une base est: $$ \{(-2,1,0), (0,0,1)\} $$