1. Énoncé du problème : Soit la suite $(s_n)$ définie par $$s_n = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{3^n}$$ Nous devons écrire $s_n$ avec le symbole $\sum$, exprimer $s_n$ en fonction de $n$, puis déterminer $\lim_{n \to \infty} s_n$. 2. Écriture avec le symbole de sommation : On remarque que $s_n$ est une somme des termes de la forme $\frac{1}{3^k}$ pour $k$ allant de 0 à $n$. Donc $$s_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{3^k}$$ 3. Expression de $s_n$ en fonction de $n$ : Il s'agit d'une série géométrique de raison $r = \frac{1}{3}$ et premier terme $a = 1$. La somme des $n+1$ premiers termes est donnée par $$s_n = \frac{1 - r^{n+1}}{1 - r} = \frac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}}{1 - \frac{1}{3}}$$ Calculons le dénominateur: $$1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$ Donc $$s_n = \frac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} \left(1 - \frac{1}{3^{n+1}} \right)$$ 4. Détermination de la limite $\lim_{n \to \infty} s_n$ : Quand $n \to \infty$, $\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1} \to 0$, donc $$\lim_{n \to \infty} s_n = \frac{3}{2} \times (1 - 0) = \frac{3}{2}$$ **Réponse finale :** $$s_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{3^k} = \frac{3}{2} \left(1 - \frac{1}{3^{n+1}} \right)$$ et $$\lim_{n \to \infty} s_n = \frac{3}{2}$$