1. **Énoncé du problème** : On considère la suite $(s_n)$ définie par $$s_n = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{3^n}.$$ 2. **Écriture avec le symbole somme** : On peut écrire $s_n$ sous forme de somme : $$s_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{3^k}.$$ 3. **Expression de $s_n$ en fonction de $n$** : C'est une somme géométrique de raison $q = \frac{1}{3}$ et de premier terme $a = 1$. La formule de la somme partielle est : $$s_n = a \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} = \frac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}}{1 - \frac{1}{3}}.$$ Calculons le dénominateur : $$1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.$$ Donc $$s_n = \frac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} \left(1 - \frac{1}{3^{n+1}}\right).$$ 4. **Calcul de la limite de $s_n$ quand $n \to +\infty$** : Puisque $\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1} \to 0$ quand $n \to +\infty$, on obtient : $$\lim_{n \to +\infty} s_n = \frac{3}{2} (1 - 0) = \frac{3}{2}.$$ **Réponse finale** : $$s_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{3^k} = \frac{3}{2} \left(1 - \frac{1}{3^{n+1}}\right) \quad \text{et} \quad \lim_{n \to \infty} s_n = \frac{3}{2}.$$